Matemáticas, pregunta formulada por letymenamena63561, hace 8 meses

Un pescador está a 12km de un barco que se encuentra al este de él y observa un faro a 60 grados desde la línea de visión con el barco a qué distancia está el barco del faro si se encuentra en dirección sur del barco

Respuestas a la pregunta

Contestado por arkyta
1

La distancia entre el barco y el faro es de 12√3 kilómetros o de aproximadamente 20.78 kilómetros

Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Donde el triángulo dado de 30-60 resulta ser lo que se denomina un triángulo notable

Representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC: el cual está conformado por el lado BC (a) que equivale a la distancia en línea recta desde el barco hasta el faro - donde este último se ubica en dirección sur de la posición del barco-, el lado AC (b) que representa la distancia horizontal -en dirección este- desde el pescador hasta el barco -donde ambos se encuentran en la misma línea de visión, -o lo que es lo mismo se hallan alineados-. Teniendo finalmente el lado AB (c) que es la longitud visual desde los ojos del pescador hasta el faro- el cual al estar en dirección sur con respecto al barco, se halla por debajo de la línea horizontal de visión entre el pescador y el barco; por tanto el faro es visto por el observador con un ángulo de depresión de 60°

Donde se pide hallar:

La distancia entre el barco y el faro

Por ser ángulo alterno interno- que es homólogo- se traslada el ángulo de depresión de 60° al punto B para facilitar la situación

Por ello se ha trazado una proyección horizontal

Esto se puede observar en al gráfico adjunto

Conocemos la distancia desde el pescador hasta el barco y de un ángulo de depresión de 60°

  • Distancia desde el pescador hasta el barco = 12 kilómetros
  • Ángulo de depresión = 60°
  • Debemos hallar la distancia entre el barco y el faro

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente

Como sabemos el valor del cateto adyacente al ángulo dado -que es la distancia en dirección este desde el pescador hasta el barco y conocemos un ángulo de depresión de 60° y debemos hallar la distancia entre el barco y el faro -donde este último se encuentra al sur del barco-, siendo dicha distancia el cateto opuesto al ángulo dado del triángulo rectángulo determinamos dicha longitud mediante la razón trigonométrica tangente del ángulo α

Razones trigonométricas con ángulos notables

Hallamos la distancia entre el barco y el faro

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo α \bold{\alpha =60^o}

Como el triángulo es notable de 30-60 al conocer el valor del cateto adyacente al ángulo de 60°, para hallar la dimensión del cateto opuesto basta multiplicar el valor del cateto adyacente al ángulo de 60° por √3

Los cálculos nos darán la razón

Planteamos

\boxed{\bold  { tan(60^o )=  \frac{ cateto\  opuesto     }{ cateto\  adyacente  }  }     }

\boxed{\bold  { tan(60^o) =  \frac{ distancia \ barco\ al \ faro  }{ distancia \  pescador  \ al \ barco }    }      }

\boxed{\bold  {distancia \ barco\ al \ faro =    distancia \  pescador  \ al \ barco \ . \   tan(60^o)    }      }

Como tenemos un ángulo notable

\large \textsf{El valor exacto de tan de 60 grados es } \bold  {\sqrt{3}   }

\boxed{\bold  {distancia \ barco\ al \ faro =  12 \ km  \ . \   \sqrt{3}     }      }

\large\boxed{\bold  {distancia \ barco\ al \ faro  =    12\sqrt{3}   \ km  }      }

\textsf{Expresado de manera decimal: }

\large\boxed{\bold  {distancia \ barco\ al \ faro \approx  20.78 \ km  }      }

Luego la distancia entre el barco y el faro es de 12√3 kilómetros o de aproximadamente 20.78 kilómetros

Se agrega gráfico para mejor comprensión del problema propuesto

Adjuntos:
Otras preguntas