Un pescador está a 12km de un barco que se encuentra al este de él y observa un faro a 60 grados desde la línea de visión con el barco a qué distancia está el barco del faro si se encuentra en dirección sur del barco
Respuestas a la pregunta
La distancia entre el barco y el faro es de 12√3 kilómetros o de aproximadamente 20.78 kilómetros
Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.
Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.
Donde el triángulo dado de 30-60 resulta ser lo que se denomina un triángulo notable
Representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC: el cual está conformado por el lado BC (a) que equivale a la distancia en línea recta desde el barco hasta el faro - donde este último se ubica en dirección sur de la posición del barco-, el lado AC (b) que representa la distancia horizontal -en dirección este- desde el pescador hasta el barco -donde ambos se encuentran en la misma línea de visión, -o lo que es lo mismo se hallan alineados-. Teniendo finalmente el lado AB (c) que es la longitud visual desde los ojos del pescador hasta el faro- el cual al estar en dirección sur con respecto al barco, se halla por debajo de la línea horizontal de visión entre el pescador y el barco; por tanto el faro es visto por el observador con un ángulo de depresión de 60°
Donde se pide hallar:
La distancia entre el barco y el faro
Por ser ángulo alterno interno- que es homólogo- se traslada el ángulo de depresión de 60° al punto B para facilitar la situación
Por ello se ha trazado una proyección horizontal
Esto se puede observar en al gráfico adjunto
Conocemos la distancia desde el pescador hasta el barco y de un ángulo de depresión de 60°
- Distancia desde el pescador hasta el barco = 12 kilómetros
- Ángulo de depresión = 60°
- Debemos hallar la distancia entre el barco y el faro
Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente
Como sabemos el valor del cateto adyacente al ángulo dado -que es la distancia en dirección este desde el pescador hasta el barco y conocemos un ángulo de depresión de 60° y debemos hallar la distancia entre el barco y el faro -donde este último se encuentra al sur del barco-, siendo dicha distancia el cateto opuesto al ángulo dado del triángulo rectángulo determinamos dicha longitud mediante la razón trigonométrica tangente del ángulo α
Razones trigonométricas con ángulos notables
Hallamos la distancia entre el barco y el faro
Relacionamos los datos con la tangente del ángulo α
Como el triángulo es notable de 30-60 al conocer el valor del cateto adyacente al ángulo de 60°, para hallar la dimensión del cateto opuesto basta multiplicar el valor del cateto adyacente al ángulo de 60° por √3
Los cálculos nos darán la razón
Planteamos
Como tenemos un ángulo notable
Luego la distancia entre el barco y el faro es de 12√3 kilómetros o de aproximadamente 20.78 kilómetros
Se agrega gráfico para mejor comprensión del problema propuesto