Question

Un péndulo físico consiste en una varilla uniforme de madera de 85 cm de longitud y masa de 240 g que cuelga de un clavo de uno de sus extremos. La varilla se desplaza una distancia de 0.25 cm y se suelta. Determine:
a) Período y frecuencia
b) La inercia
c) La ecuación del movimiento

Answer 1

El periodo de la oscilación es de 0,17s y la frecuencia es de 5,88Hz.

La inercia del péndulo es de $0,0578kg.m^2$

La ecuación del movimiento en radianes es $\theta(t)=0,00294.sen(36,95t-\frac{\pi}{2})$

Explicación:

a) El periodo del péndulo físico se puede calcular mediante la siguiente expresión:

$T=2\pi\sqrt{\frac{I}{LM.g}}=2\pi\sqrt{\frac{L^2M}{3LMg}}=2\pi\sqrt{\frac{L}{3g}}=2\pi\sqrt{\frac{0,85m}{3.9,81\frac{m}{s^2}}}\\\\T=0,17s$

Y la frecuencia es la inversa del periodo:

$\nu=\frac{1}{T}=\frac{1}{0,17s}=5,88Hz$

b) Como la varilla que forma el péndulo físico está sujeta por uno de sus extremos, siempre operando con unidades MKS, la inercia rotacional del péndulo es:

$I=\frac{1}{3}.L^2M=\frac{1}{3}.0,24kg.(0,85m)^2=0,0578kgm^2$

c) Podemos plantear la ecuación del torque para la varilla:

$\tau=I.\alpha\\-gm.L.sen(\theta)=I.\frac{d^2\theta}{dt^2}$

Como la excursión del péndulo es muy pequeña en relación a su longitud podemos hacer $sen(\theta)\simeq \theta$ y queda:

$-gm.L.\theta=I.\frac{d^2\theta}{dt^2}\\\\\frac{d^2\theta}{dt^2}+\frac{gm.L}{I}\theta=0\\\\\theta=sen(wt)=>-w^2.sen(wt)+\frac{gm.L}{I}.sen(wt)=0\\\\\frac{gm.L}{I}-w^2=0\\\\w=\sqrt{\frac{gm.L}{I}}=36,95s^{-1}$

Y el movimiento inicia en la siguiente posición angular, si la varilla excursiona 0,25cm:

$sen(\theta_i)=\frac{0,25cm}{85cm}\\\\\theta_i=sen^{-1}(\frac{0,25}{85})=0,00294$

Por lo tanto esta será la amplitud del movimiento, como inicia en la máxima excursión hay un desfasaje de la función seno de $-\frac{\pi}{2}$. Entonces, la ecuación de movimiento queda:

$\theta(t)=0,00294.sen(36,95s^{-1}.t-\frac{\pi}{2})$