Question

. Un péndulo de 15 cm se mueve según la ecuación = 0.2 8, donde es el desplazamiento angular de la vertical y es el tiempo en segundos. Determine:
a) La función velocidad del péndulo
b) La función aceleración del péndulo
c) La velocidad del péndulo después de que han transcurrido 35 segundos.

Answer 1

Lo que se interpreta es que la excursión del péndulo en desplazamiento angular es 0,28rad=16°, esa será nuestra base para hallar las funciones de velocidad, posición y aceleración, mediante el teorema del trabajo y la energía tengo:

$mgz=\frac{1}{2} mv^2\\gz=\frac{v^2}{2}$

Si tengo el desplazamiento angular respecto de la vertical, calculamos la componente vertical de la posición respecto del eje como:

$a=r.cos(\alpha )$

donde alpha es el desplazamiento angular. La altura total respecto al punto más bajo del péndulo es:

$z=r(1-cos(\alpha ))$

La primera fórmula relaciona la velocidad máxima con la altura máxima porque en la altura máxima toda la energía es potencial, y cuando tengo la velocidad máxima toda esa energía se habrá transformado en cinética, tengo:

$gr(1-cos(\alpha_{0}))=\frac{1}{2} v_{max}^2\\v_{max}=\sqrt{2gr(1-cos(\alpha_{0}))}$

Tengo que:

$\frac{1-cos(\alpha)}{2}=sen^2(\frac{\alpha}{2} )$

Queda:

$v_{max}=2\sqrt{gr}sen(\frac{\alpha_{0}}{2} )$

Y como la energía se conserva tengo:

$E=mgz+\frac{1}{2} mv^2\\mgz_{max}=mgz+\frac{1}{2} mv^2\\\frac{1}{2} mv^2=mg(z_{max}-z)=mgr(1-cos(\alpha_{0} )-1+cos(\alpha))\\\frac{v^2}{2}=gr(cos(\alpha)-cos(\alpha_{0})) \\v=\sqrt{2gr(cos(\alpha)-cos(\alpha_{0}))}$

Esta sería la ecuación de velocidad del péndulo. Para desplazamientos angulares pequeños se puede aproximar, aplicando un polinomio de Taylor (de lo cual se amplia aquí https://brainly.lat/tarea/9874445) de orden 1 al coseno, a:

$v=\sqrt{2gr(\alpha_{0}-\alpha)}$

b) la aceleración tangencial es:

$a=\frac{dv}{dt}= \frac{1}{2\sqrt{ 2gr(cos(\alpha)-cos(\alpha_{0}))}}.\frac{d}{d\alpha}(\sqrt{ 2gr(cos(\alpha)-cos(\alpha_{0}))})=  \frac{gr}{\sqrt{ 2gr(cos(\alpha)-cos(\alpha_{0}))}}$

$a=\sqrt{\frac{gr}{2(cos(\alpha)-cos(\alpha_{0}))} }$

c) Tenemos que hallar el periodo del péndulo, para desplazamientos pequeños este es:

$F=mg.sin(\alpha)=m.a_{t}\\a_{t}=r\frac{d^2\alpha}{dt^2} \\g.sin(\alpha)=l\frac{d^2\alpha}{dt^2}$

Se puede estimar

$sin(\alpha)=\alpha$

Y es:

$\alpha=b.sen(wt)$

Queda:

$r=w^{2} g\\\\w=\sqrt{\frac{r}{g}}\\ w=2\pi T$

$T=2\pi \sqrt{\frac{r}{g} }$

donde r es la longitud del péndulo y g la constante gravitatoria. El período es aproximadamente:

$T=2\pi \sqrt{\frac{0,15}{10}} =0,77s$

con lo que en 35 segundos el péndulo habrá hecho varias oscilaciones, hago la división y me quedo con la parte decimal.

$n=\frac{35}{0,77}= 45,45osc.$

Al segundo 35 está al 45% de un ciclo de oscilación. Con lo que en un periodo excursiona:

$\Delta \alpha = 2.0,28=0,56$

lo multiplico por 2 porque 0,28 es lo que se desplaza del centro a un extremo de la trayectoria, al 45% del ciclo es:

$\alpha=0,45.0,56rad=0,252rad=14,4\°.$

En la fórmula de la velocidad:

$\alpha_{0}=0,28=16\°$

$v=\sqrt{2gr(cos(\alpha)-cos(\alpha_{0}))}=\sqrt{2.10\frac{m}{s^2}.0,15m(cos(14,4\°)-cos(16\°))}=0,15\frac{m}{s}$