Question

Un observador ubicado a una distancia de 80 pies de la base de un edificio, cuya altura es de 37,30 pies, mide el ángulo de elevación al punto más alto de dicho edificio. ¿cuál es la medida del ángulo?.

Answer 1

El ángulo de elevación es de aproximadamente 25°

Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC el cual está conformado por el lado BC (a) que equivale a la altura del edificio, el lado AC (b) que representa la distancia desde el observador hasta la base del edificio, -desde determinado punto A donde este se ubica- y el lado AB (c) que es la longitud visual desde los ojos del observador hasta la cima del edificio con un ángulo de elevación α el cual es nuestra incógnita

Donde se pide hallar:

El ángulo de elevación con respecto al horizonte

Esto se puede observar en al gráfico adjunto

Conocemos la altura del edificio y la distancia del observador hasta la base del edificio

• Altura del edificio = 37.30 pies

• Distancia desde el observador hasta la base del edificio = 80 pies

• Debemos hallar la medida del ángulo α de elevación

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente

Como sabemos el valor del cateto opuesto -que es la altura del edificio- y conocemos la distancia desde el observador hasta la base del edificio, -desde cierto punto A donde este se ubica -la cual es el cateto adyacente del triángulo rectángulo y debemos determinar el ángulo de elevación con respecto al horizonte; hallaremos nuestra incógnita mediante la razón trigonométrica tangente del ángulo α

Hallamos el ángulo de elevación al sol con respecto al horizonte

Planteamos

$\boxed { \bold { tan(\alpha ^o) = \frac{cateto \ opuesto }{ cateto \ adyacente } = \frac{a}{b} }}$

$\boxed { \bold { tan(\alpha ^o) = \frac{altura \ del\ edificio }{distancia\ a \ base\ edificio } = \frac{a}{b} }}$

$\boxed { \bold { tan(\alpha ^o)= \frac{a}{b} }}$

$\boxed { \bold { tan(\alpha ^o )= \frac{37.3 \not pies }{ 80\not pies } }}$

$\textsf{Aplicamos la inversa de la tangente }$

$\boxed { \bold {\alpha = arc tan \left( \frac{37.3 }{80 }\right) }}$

$\boxed { \bold {\alpha = arc tan ( 0.46625 ) }}$

$\boxed { \bold {\alpha = 24.997286 ^o }}$

$\large\boxed { \bold {\alpha = 25^o }}$

La medida del ángulo de elevación es de aproximadamente 25°