Question

un observador se encuentra en un faro al pie de un acantilado a 687m sobre el nivel del mar, desde este punto observa un barco con un angulo de depresion de 23 grados. se desea saber a que distancia de la base del acantilado se encuentra el barco

Answer 1

La distancia del barco a la base del acantilado es de aproximadamente 1618.471 metros

Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Solución

Representamos la situación en un imaginario triángulo rectángulo ABC el cual está conformado por el lado AB que equivale a la altura del faro donde se halla el observador, el lado BC que representa la distancia desde el barco hasta la base del acantilado donde se encuentra el faro y el lado AC que es la longitud visual desde lo alto del faro al barco, con un ángulo de depresión de 23°

Donde se pide hallar:

A que distancia de la base del acantilado se encuentra el barco

Por ser ángulos alternos internos- que son homólogos- se traslada el ángulo de 23° al punto C para facilitar la situación

Por ello se han trazado dos proyecciones horizontales P1 y P2

Esto se puede observar en al gráfico adjunto, además del planteo y resolución del ejercicio.

Conocemos la altura del faro y de un ángulo de depresión de 45,5°

• Altura del faro = 687 metros

• Ángulo de depresión = 23°

• Debemos hallar la distancia desde el barco hasta la base del acantilado

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto (lado AB) y el cateto adyacente (lado BC)

Como sabemos el valor del cateto opuesto (lado AB = altura del faro), asimismo conocemos un ángulo de depresión de 23° y debemos hallar la distancia entre el barco y la base del acantilado, relacionamos los datos que tenemos con la tangente del ángulo α

Planteamos

$\boxed { \bold { tan(23)^o = \frac{cateto \ opuesto }{ cateto \ adyacente } }}$

$\boxed { \bold { tan(23)^o = \frac{altura \ del \ faro }{ distancia\ del \ barco \ al \ acantilado } }}$

$\boxed { \bold { distancia\ del \ barco \ al \ acantilado = \frac{ altura \ del \ faro }{ tan(23)^o } }}$

$\boxed { \bold { distancia\ del \ barco \ al \ acantilado = \frac{687 \ metros }{ tan(23)^o } }}$

$\boxed { \bold { distancia\ del \ barco \ al \ acantilado = \frac{ 687 \ metros }{ 0.4244748162096} }}$

$\boxed { \bold { distancia\ del \ barco \ al \ acantilado \approx 1618.47057 \ metros}}$

$\large\boxed { \bold { distancia\ del \ barco \ al \ acantilado \approx 1618.471 \ metros}}$

La distancia del barco a la base del acantilado es de aproximadamente 1618.471 metros

Answer 2

Sabiendo que desde un acantilado a 687 metros sobre el nivel del mar se observa un barco con un ángulo de depresión de 23º, tenemos que la distancia de la base del acantilado hasta el barco es de 1618.47 m.

Análisis de la tangente de un ángulo

A partir del triángulo rectángulo de la imagen adjunta, la tangente del ángulo α viene siendo igual al cateto opuesto entre el cateto adyacente. Es decir:

tag(α) = CO / CA

Donde:

• CO = lado opuesto
• CA = lado adyacente

Resolución del problema

Para encontrar la distancia de la base del acantilado hasta el barco se utiliza la identidad de la tangente, entonces:

tag(23º) = 687 m / CA

CA = 687 m / tag(23º)

CA = 1618.47 m

Por tanto, la distancia desde la base del acantilado hasta el barco es de 1618.47 m.

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