Question

un observador mira los edificios E1 y E2 desde un tercer edificio E3, situado a 500 m de E1 y 800 m de E2, si el angulo que forman las lineas visuales es de 132°, determinar la distancia que separa los edificios E1 y E2.

Answer 1

usamos la ley de los cosenos, ya que tenemos 2 lados y el angulo entre ellos
$a^{2} = b^{2} + c^{2} -2bc cos(A)$
a=la distancia entre los edificios E1 y E2         b=500m    c=800m   A=132º
$a^{2} = 500^{2} + 800^{2} -2*500*800 cos(132º)=1425304.48$
b=√1425304304.48=1193.86metros

Answer 2

La distancia que separa a los edificios E1 y E2 es de 1193,86 metros

Procedimiento:

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.  En este caso se trata de un triángulo oblicuángulo

Para resolver este ejercicio vamos a aplicar el teorema del coseno

¿Qué es el Teorema del Coseno?

El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.

El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.

El teorema del coseno dice:

Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,

Entonces se cumplen las relaciones:

$\boxed {\bold { a^{2} = \ b^{2} \ + \ c^{2} \ - \ 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(\alpha )}}$

$\boxed {\bold { b^{2} = \ a^{2} \ + \ c^{2} \ - \ 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(\beta )}}$

$\boxed {\bold { c^{2} = \ a^{2} \ + \ b^{2} \ - \ 2 \ . \ a \ . \ b\ . \ cos(\gamma )}}$

Estas relaciones entre los lados y los ángulos del triángulo se pueden observar en el gráfico adjunto

Nota: Se dice que es una generalización del teorema de Pitágoras porque si uno de los ángulos es recto, el triángulo es rectángulo, siendo la hipotenusa el lado opuesto a dicho ángulo y se obtiene el teorema de Pitágoras al aplicar el del coseno.

Por ejemplo, si α = 90º, entonces, la primera de las tres fórmulas anteriores queda como,

a² + b² = c²

Siendo a la hipotenusa del triángulo.

Solución:

Se desea hallar la distancia que separa a dos edificios E1 y E2, los cuales desde un otro edificio E3 donde se ubica el observador

Representamos esta situación en un imaginario triángulo ABC en donde el lado AC (lado a) y el lado BC (lado b) representan respectivamente las longitudes de la líneas visuales al edificio E1 y al edificio E2 desde el vértice C del triángulo que es donde se ubica el observador desde el tercer edificio E3. Siendo el lado AB (lado c) la distancia que separa a los dos edificios E1 y E2 y que es nuestra incógnita. Como conocemos las magnitudes de las dos líneas visuales y el valor del ángulo comprendido entre ellas se empleamos la ley del coseno, ya que conocemos dos lados y el ángulo que conforman estos dos lados

Hallando la distancia entre los edificios E1 y E2   (Lado AB - lado c)

Por el teorema del coseno podemos expresar

$\boxed {\bold { c^{2} = \ a^{2} \ + \ b^{2} \ - \ 2 \ . \ a \ . \ b\ . \ cos(\gamma )}}$

Reemplazamos valores

$\boxed {\bold { c^{2} = \ 500^{2} \ + \ 800^{2} \ - \ 2 \ . \ 500 \ . \ 800\ . \ cos(132 ) \° }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = \ 250000 \ + \ 640000 \ - \ 800000\ . \ cos(132 ) \° }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = \ 890000 \ - \ 800000\ . \ cos(132 ) \° }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = \ 890000 \ - \ 800000\ . \ - 0,669130606358 }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = \ 890000 \ + \ 535304,48 }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = \ 1425304,48 }}$

$\boxed {\bold {\sqrt{ c^{2 } } = \sqrt{ 1425304,48 } }}$

$\boxed {\bold {c= \sqrt{ 1425304,48 } }}$

$\boxed {\bold {c \approx 1193,86 \ metros }}$

La distancia entre el edificio E1 y el edificio E2 es de 1193,86 metros