Question

Un obrero debe cercar un terreno rectangular cuyo perimetro es 160 metros lineales. Indique cuál debe ser la máxima longitud del largo del terreno, sabiendo que el área cercada es de al menos 975 metros cuadrados
a) 65 m de largo como máximo
b) 40 m de largo como máximo
c) 64 m de largo como máximo
d) 80 m de largo como máximo
e) 15 m de largo como máximo​

Answer 1

Explicación paso a paso:

Para ello se tiene:

Perímetro: $2a + 2b = 160 \: m$

Área : $a \cdot b = 975 \: m$

donde:

• $a$ : longitud de largo del terreno
• $b$ : longitud de ancho del terreno

Se puede modelar el sistema:

$\[\left \{\begin{array}{r} 2a +2b = 160 \\ a \cdot b = 975 \end{array}\right .\]$

A partir de la primer ecuación se obtiene:

$2a + 2b = 160$

$a + b = 80$

$a = 80 - b$

Se sustituye en la segunda ecuación:

$a \cdot b = 975$

$( 80 - b ) \cdot b = 975$

$80b - {b}^{2} = 975$

$80b - {b}^{2} - 975 = 0$

$- {b}^{2} + 80b - 975 = 0$

Usando fórmula cuadrática:

$b=\frac{-(80) \: \pm \: \sqrt{(80)^{2}-4( - 1)( - 975)} }{2( - 1)}$

$b=\frac{-80 \: \pm \: \sqrt{6400-3900} }{- 2}$

$b=\frac{-80 \: \pm \: \sqrt{2500} }{- 2}$

$b=\frac{-80 \: \pm \: 50 }{- 2}$

$b_{1}=\frac{-80 + 50 }{- 2}$

$b_{1}=\frac{-30 }{- 2}$

$b_{1}=15$

$b_{2}=\frac{-80 - 50}{- 2}$

$b_{2}=\frac{-130}{- 2}$

$b_{2}=65$

Por lo que:

$b = \[\left \{\begin{array}{r} 15 \\ 65 \end{array}\right .\]$

Al realizar las evaluaciones, usaremos el valor menor de ancho para asegurar el máximo valor de largo del terreno:

$a + b = 80$

$a = 80 - b$

$a = 80 - 15$

$a = 65$

Respuesta:

La respuesta es la opción a) , ya que corresponde al valor máximo obtenido en la evaluación.

La máxima longitud de largo del terreno es de 65 m