Un objeto se mueve en un medio donde experimenta una aceleración de resistencia al movimiento
proporcional a su rapidez, esto es a = -kv, donde k es una constante positiva igual a 0.5 s-1
.
a) Calcular la rapidez y posición del objeto en cualquier instante.
b) Si para t = 0 el objeto se encuentra en el origen moviéndose con una rapidez de 10 m/s, calcular
la posición donde se detiene.
Respuestas a la pregunta
Siendo la aceleración variable con la velocidad debemos recurrir al cálculo integral.
La aceleración es la derivada de la velocidad:
a = dv/dt = - k v; o sea:
dv / v = - k dt
Integramos v entre vo y v; integramos t entre 0 y t; queda:
Ln(v / vo) = - e^(k t); luego: (vo es la velocidad inicial)
v = vo e^(- k t)
Considerando los valores según el ítem b): omito las unidades
v = 10 . e^(- 0,5 t)
La velocidad es la derivada de la posición:
dx/dt = v = vo e^(- k t)
Integramos x entre o y x; integramos t entre 0 y t:
x = vo / k [1 - e^(- k t)]
Reemplazamos valores:
x = 20 [1 - e^(-0,5 t)]
Se detiene cuando la velocidad es cero.
La expresión de v en función de t es una exponencial decreciente; es nula para un tiempo infinitamente grande
Par un tiempo infinitamente grande, e^(-0,5 t) tiende a cero.
Por lo tanto:
Se detiene virtualmente en x = 20 m
Adjunto gráfico x - t donde se observa que x se estabiliza en 20 m cuando el tiempo es suficientemente grande.
Se adjunta además gráfico velocidad tiempo. Se observa que tiende a cero
Saludos.
