Question

Un objeto se lanza hacia arriba por un plano cuya inclinación os 30,0 grados.
Si la rapidez inicial de lanzamiento es 14.0 m/s y se sabe que el coeficiente de fricción entre el objeto y el plano es 0.2, determina, en metros, la distancia que recorre el objeto sobre el plano justo antes
de detenerse.
Considera la magnitud de la aceloración de la gravedad 9.81 m/s?

Answer 1

Respuesta:

El objeto recorre una distancia de 14.84 m

Explicación paso a paso:

Los datos que nos dan son: ángulo de inclinación = 30.0°. Velocidad inicial 14.0 m/s y μ = 0.2. No nos dan masa. Y la gravedad: 9.81 m/s^2

Te adjunto la imagen del plano con las fuerzas que están aplicadas al objeto. A medida que avance la explicación, es necesario consultarlo.

Para calcular la distancia, aplicaremos la fórmula:

$V_{f}^{2}=V_{0}^{2}+2a*x$

Pero para aplicar esta fórmula necesitamos conocer la aceleración, y para saber la aceleración necesitamos conocer la masa. Entonces tenemos que hacer un procedimiento para encontrar la aceleración, pero eliminando la masa.

Mira el plano, por fa.

Tenemos el peso del objeto (P), representado en la línea negra vertical hacia abajo. Ese peso lo descomponemos en Pn que es el componente normal del peso y Pt que es el componente tangencial. (líneas rojas)

Observamos que el ángulo de inclinación (α=30°) es correspondiente con el ángulo que forman Pn y P, el cual también será α y medirá 30°; por tanto, si trazamos un rectángulo con las líneas punteadas azules que puedes ver en el dibujo que te adjunto, se forma un triángulo rectángulo con la hipotenusa P y los catetos Pn y Px. Podemos considerar que Pn es Py y que Pt es Px. (es importante tener en cuenta esas correspondencias)

Con base en lo anterior aplicamos la razón trigonométrica Seno:

$sen\alpha=\frac{op}{hip}\\ \\sen\alpha=\frac{Px}{P}$

También aplicamos la razón trigonométrica Coseno:

$cos\alpha=\frac{ady}{hip}\\ \\cos\alpha=\frac{Py}{P}$

Tenemos también que peso es igual a masa por gravedad: P=m*g. Entonces, tomamos la segunda ley de Newton que dice, suma de fuerzas es igual a masa por aceleración: ∑$F=m*a$

Aplicamos esa ley para el eje X

Las dos fuerzas que se suman, es decir Px y Fuerza de rozamiento (Fr), son contrarias al desplazamiento, por tanto, les ponemos signo negativo; tenemos entonces:

$-P_{x}-F_{R}=m*a$  (ya dijimos que Px es Pt)

Aplicamos la ley para el eje Y:

Recordemos que estamos aplicando ∑F =m*a⃑ ; entonces, para la sumatoria de fuerzas F, tenemos que la normal N, se cancela con Pn (que es Py), o sea que  N-Py=0, por tanto: N=Py (mira la imagen)

Pero ya habíamos dicho que $cos\alpha=\frac{Py}{P}$ ; por tanto, si despejamos Py, tenemos:

Py=cos α*P

Pero también sabemos que P=m*g

Por tanto, reemplazamos el valor de P y tenemos: Py=cos α*m*g

Necesitamos también trabajar con la fuerza de rozamiento. Esta es:  Fr=μ*N , pero la normal N es igual a Py y acabamos de afirmar que

Py = cos α*m*g; por tanto, reemplazamos N por cos α*m*g y tenemos:

Fr=μ*cos⁡α*m*g

Volvamos a la ecuación del eje x, para hacer los reemplazos que necesitamos. Esa ecuación planteaba: -Px-Fr=m*a  

Px es P*senα, pero P es m*g, o sea que Px es m*g*senα. Y la Fr, ya dijimos que es μ*cos⁡α*m*g

Reemplazamos y tenemos:

-mg*senα-μ*cosα*mg=m*a

Aquí sacamos factor común (que nos servirá para eliminar m)

mg , es factor común, entonces tenemos: -mg(senα-μ*cosα)=m*a

Despejamos a pasando m a dividir al otro lado

$a=\frac{-mg(sen\alpha-u*cos\alpha)}{m}$   (u es miu, es que el editor de Brainly no la tiene)

m está en el numerador y en el denominador, por tanto, la cancelamos y tenemos:

a=-g(senα-μ*cosα)

Reemplazamos con los valores que nos dieron en los datos:

a=-9.81 $\frac{m}{s^{2}}$ (0.5+0.2*0.86)=-6.60$\frac{m}{s^{2}}$

Ahora que tenemos el dato de la aceleración, podemos calcular la distancia.

Aplicamos esta fórmula:

$V_{f}^{2}=V_{0}^{2}+2ax$

La velocidad final es cero, puesto que el objeto se detiene. La velocidad inicial la dio el problema y es 14 m/s , la aceleración es-6.60 m/s^2  y x es la distancia recorrida por el objeto:

Reemplazamos y despejamos:

$0=(14\frac{m}{s})^{2}+2*(-6.60\frac{m}{s^{2}})*x$

$0=196\frac{m^{2}}{s^{2}}-13.2\frac{m}{s^{2}}*x$

$196\frac{m^{2}}{s^{2}}=13.2\frac{m}{s^{2}}*x$

$x=\frac{196\frac{m^{2}}{s^{2}}}{13.2\frac{m}{s^{2}}}$

Se cancelan s^2 con s^2 y m con uno de los m de m^2

x=14.84 m