Question

Un objeto cuya temperatura es de 99 °C, se deja expuesto en una habitación de temperatura constante e igual a 23 °C. Se observa que, al cabo de 3 minutos, su temperatura disminuye en 11 °C; y, 1 minuto más tarde, disminuye otros 16 °C. Calcule el tiempo (en segundos) que transcurrirá para que su temperatura se reduzca a la tercera parte.

Answer 1

La temperatura de un objeto está sujeta a cambios debido a la transferencia de calor. En una habitación con temperatura constante, el objeto se enfriará hasta alcanzar la temperatura del ambiente. En este caso, si la temperatura del objeto es de 99 °C y la temperatura ambiente es de 23 °C, se tardará 185,819 segundos en que la temperatura del objeto se reduzca a la tercera parte.

Un objeto cuya temperatura es de 99 °C, se deja expuesto en una habitación de temperatura constante e igual a 23 °C. Se observa que, al cabo de 3 minutos, su temperatura disminuye en 11 °C; y, 1 minuto más tarde, disminuye otros 16 °C.

Calcule el tiempo (en segundos) que transcurrirá para que su temperatura se reduzca a la tercera parte.

Datos a considerar:

• T₁ = 99 °C
• T₂ = 23 °C
• T₁ - T₂ = 76 °C

Procedimiento:

Al cabo de 3 minutos, su temperatura disminuye en 11 °C

• T₁ = 88 °C

Al cabo de 1 minuto más, disminuye otros 16 °C

• T₁ = 72 °C
• T₁ - (T₁/3) = 24 °C

3 minutos x 60 segundos = 180 segundos

• 88 - 24 = 64
• 64 / 11 = 5,819
• 180 + 5,819 = 185,819 segundos

Conclusión: El tiempo que transcurrirá para que la temperatura se reduzca a la tercera parte será de 185,819 segundos.

Aprende más sobre el cálculo en: https://brainly.lat/tarea/9628969

#spj1

Answer 2

El tiempo necesario para que la temperatura se reduzca a la tercera parte es de aproximadamente 9.96 segundos.

Ley de Enfriamiento de Newton

Haciendo uso de la Ley de enfriamiento de Newton tenemos:

$\frac{dt}{dt} = -k(T-T_m)$

Donde:

• T: Temperatura del objeto.
• $T_m$: Temperatura ambiental.
• k: Constante de proporcionalidad.

Dado que se trata de una ecuación diferencial lineal de primer orden con coeficientes constantes, tenemos que:

$\frac{dT}{T-T_m}=-kdt \Rightarrow \int \frac{dT}{T-T_m}=\int -kdt \Rightarrow \ln \lvert T-T_m \rvert =-kt+C$

Donde:

• C: Constante de integración.

Como queremos encontrar el tiempo, sustituimos los valores de temperatura que se dan en el enunciado:

$\ln \lvert 99-23 \rvert =-kt+C \Rightarrow C=\ln \lvert 99-23 \rvert +kt$

Igualmente, cuando la temperatura se reduce a la tercera parte, se tiene:

$\ln \lvert \frac{99}{3}-23 \rvert =-kt+\ln \lvert 99-23 \rvert +kt \Rightarrow \ln \left( \frac{\lvert 99-23 \rvert}{\lvert \frac{99}{3}-23 \rvert} \right)=2kt \Rightarrow 2kt=\ln \left( \frac{3}{1} \right)=\ln 3$

Por lo tanto, al despejar t:

$2kt=\ln 3 \Rightarrow kt=\frac{\ln 3}{2} \Rightarrow t=\frac{\ln 3}{2k}$

Como k es una constante, podemos sustituir los valores que se dan en el enunciado para encontrar su valor:

$k \cdot \frac{-60}{-k(99-23)}=\frac{\ln 3}{2k} \Rightarrow k=\frac{\ln 3}{2 \cdot \frac{-60}{-k(99-23)}}$

$\Rightarrow k \cdot \frac{60}{k(99-23)}=\frac{\ln 3}{2k} \Rightarrow k \cdot \frac{60}{k(99-23)}=\frac{\ln 3}{2k} \Rightarrow \frac{60}{k(99-23)}=\frac{\ln 3}{2k^2}$

$\Rightarrow \frac{60}{k(99-23)}=\frac{\ln 3}{2k^2} \Rightarrow \frac{60}{k(99-23)}=\frac{\ln 3}{2k^2} \Rightarrow \frac{60}{k(99-23)}=\frac{\ln 3}{2k^2}$

$\Rightarrow \frac{60}{k(99-23)}=\frac{\ln 3}{2k^2} \Rightarrow \frac{60}{k(99-23)}=\frac{\ln 3}{2k^2} \Rightarrow \frac{60}{k(99-23)}=\frac{\ln 3}{2k^2}$

$\Rightarrow 60k^2-(99-23) \ln 3=0 \Rightarrow 60k^2-76 \ln 3=0 \Rightarrow k=\frac{\sqrt{76 \ln 3}}{30}$

Por lo tanto, el tiempo que transcurrirá para que la temperatura se reduzca a la tercera parte será:

$t=\frac{\ln 3}{2 \cdot \frac{\sqrt{76 \ln 3}}{30}}=\frac{30}{\sqrt{76 \ln 3}} \ln 3 \approx 9.96 \ segundos$

Por lo tanto debemos concluir que el tiempo necesario para que la temperatura se reduzca a la tercera parte es de aproximadamente 9.96 segundos.

Conoce más sobre la Ley de Enfriamiento de Newton en:

https://brainly.lat/tarea/13911993

https://brainly.lat/tarea/9903867

#SPJ2