Question

Un niño vuela una chichigua atada a una cuerda de 100 metros. En el momento en que la cuerda forma un ángulo de 30° con la horizontal,
¿aproximadamente a qué altura del suelo se encuentra la chichigua si
el niño tiene 1.2 metros de estatura?

Answer 1

La altura desde el suelo a la chichigua es de 51.2 metros

Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Donde el triángulo dado de 30-60 resulta ser lo que se denomina un triángulo notable

Representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC: el cual está conformado por el lado AC que equivale a una porción de la altura a la que se encuentra volando la chichigua y llamamos a esa distancia "x" la cual es una preincógnita, -siendo el cateto opuesto al ángulo dado- , el lado AB representa la longitud de la cuerda de la chichigua desde la mano del niño - siendo la hipotenusa del triángulo- y es también la línea visual desde el niño hasta la chichigua; la cual se observa con un ángulo de elevación de 30° y finalmente el lado BC que es una proyección del plano del suelo.

Donde se pide hallar la altura (h) desde el suelo hasta la chichigua

Sabemos que la altura a la que se encuentra volando la chichigua forma una línea perpendicular medida desde el plano del suelo.

Donde debemos dividir a esa altura h en dos partes: la distancia "x", -la cual se encuentra por encima de la mano del niño y del plano del suelo- de la cual desconocemos su magnitud y la longitud que coincide con la altura del niño

La sumatoria de la distancia "x" y la estatura del niño nos darán la altura h donde se encuentra la chichigua

Conocemos la longitud de la cuerda de la chichigua y de un ángulo de elevación de 30°

• Longitud de la cuerda de la chichigua = 100 metros

• Ángulo de elevación = 30°

• Debemos hallar la distancia "x"

Dado que el seno de un ángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa

Como sabemos la longitud de la cuerda que ata a la chichigua -la cual es la hipotenusa del triángulo- y conocemos un ángulo de elevación de 30° y debemos hallar la distancia "x" -que es el cateto opuesto al ángulo dado: determinaremos dicha magnitud mediante la razón trigonométrica seno del ángulo α

Razones trigonométricas con ángulos notables

Hallamos la distancia x (AC)

Como el triángulo es notable y de 30°-60° el cateto opuesto al ángulo de 30° mide exactamente la mitad que el valor de la hipotenusa, pudiendo aseverar que la distancia x tendrá una dimensión de 50 metros dado que la cuerda de la chichigua -hipotenusa- tiene una longitud de 100 metros

Los cálculos nos darán la razón

$\boxed { \bold { sen (30^o) = \frac{cateto \ opuesto }{ hipotenusa } = \frac{AC}{AB} }}$

$\boxed { \bold { sen (30^o) = \frac{distancia \ x }{ longitud \ cuerda \ chichigua } = \frac{AC}{AB} }}$

$\boxed { \bold {distancia \ x \ (AC) = longitud \ cuerda \ chichigua\ . \ sen (30^o) }}$

Como tenemos un ángulo notable

$\large \textsf{El valor exacto de seno de 30 grados es } \bold {\frac{ 1 } {2 } }$

$\boxed { \bold {distancia \ x \ (AC) = 100 \ metros\ . \ sen (30^o) }}$

$\boxed { \bold {distancia \ x \ (AC) = 100 \ metros\ . \ \frac{1}{2} }}$

$\boxed { \bold {distancia \ x \ (AC) = \frac{100}{2} \ metros }}$

$\large\boxed { \bold {distancia \ x \ (AC) =50 \ metros }}$

Por tanto la distancia x (AC) es de 50 metros

Determinamos la altura h en donde se encuentra la chichigua

$\boxed { \bold { Altura \ Chichigua \ ( h)= distancia \ x \ (AC) + altura \ persona \ (BB')}}$

$\boxed { \bold { Altura \ Chichigua \ ( h)= 50\ metros + 1.2 \ metros }}$

$\large\boxed { \bold { Altura \ Chichigua \ ( h)= 51.2\ metros }}$

Por tanto la altura desde el suelo a la chichigua es de 51.2 metros

Se agrega gráfico para mejor comprensión del ejercicio planteado