Question

Un niño de 1,60 m de estatura divisa una moneda en el suelo con un ángulo de depresión de 53º. ¿a qué distancia del niño se encuentra la moneda?

Answer 1

La distancia desde el niño hasta donde se encuentra la moneda en el suelo es de 1.20 metros

Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Donde el triángulo dado de 37-53 resulta ser lo que se denomina un triángulo notable

La estatura del niño junto con el suelo donde este se ubica forma un ángulo recto, por lo tanto tenemos un triángulo rectángulo. Luego representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC: el cual está conformado por el lado BC (a) que equivale a la estatura del niño -el cual se encuentra avistando una moneda en el suelo-, el lado AC (b) que representa la distancia horizontal desde los pies del niño hasta la moneda en el suelo -ubicada en A- y el lado AB (c) que es la línea visual desde los ojos del niño observador hasta dicha moneda en el suelo, la cual es vista con un ángulo de depresión de 53°

Donde se pide hallar:

A qué distancia del niño se encuentra la moneda

Por ser ángulo alterno interno- que es homólogo- se traslada el ángulo de depresión de 53° al punto A para facilitar la situación

Por ello se ha trazado una proyección horizontal

Esto se puede observar en al gráfico adjunto

Conocemos la estatura del niño observador y de un ángulo de depresión de 53°

• Altura del niño = 1.60 metros

• Ángulo de depresión = 53°

• Debemos hallar a qué distancia del niño se encuentra la moneda

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:

Como sabemos el valor del cateto opuesto al ángulo dado -que es la estatura del niño observador y conocemos un ángulo de depresión de 53° y debemos hallar a qué distancia del niño se encuentra la moneda- la cual es el cateto adyacente al ángulo dado del triángulo rectángulo determinaremos dicha longitud mediante la razón trigonométrica tangente del ángulo α

Razones trigonométricas con ángulos notables

Hallamos la distancia desde el niño hasta donde se encuentra la moneda en el suelo

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo α $\bold{\alpha =53^o}$

Planteamos

$\boxed{\bold { tan(53^o )= \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(53^o) = \frac{ estatura \ observador }{ distancia \ a \ la \ moneda } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ a \ la \ moneda = \frac{ estatura \ observador }{ tan(53^o) } } }$

Como tenemos un ángulo notable

$\large \textsf{El valor exacto de tan de 53 grados es } \bold {\frac{ 4 } {3 } }$

$\boxed{\bold { distancia \ a \ la \ moneda = \frac{ 1.60\ m \ }{ \frac{4}{3} } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ a \ la \ moneda = 1.60 \ m \ \ . \ \frac{3}{4} } }$

$\boxed{\bold { distancia \ a \ la \ moneda = \frac{4.80 }{4} \ m } }$

$\large\boxed{\bold { distancia \ a \ la \ moneda =1.20 \ metros } }$

Luego la distancia desde el niño hasta donde se encuentra la moneda en el suelo es de 1.20 metros

Se agrega gráfico para mejor comprensión del problema propuesto