Question

Un nadador ve hacia la bandera roja de una torre de salvavidas de 6.5 metros. formando un ángulo de elvación de 48 grados. • ¿Cuánto tiene que recorrer para llegar hasta la base de la torre? Cuando pasan unos minutos el salvavidas forma un ángulo de depresión de 30 grados y ve al nadador, quien tiene dificultades para continuar. ¿Cuánto tiene que recorrer el salvavidas, desde la base de la torre para salvar al nadador (mantenga la altura de la torre en 6.5 metros)? .​

Answer 1

La distancia que debe recorrer el nadador para llegar a la base de la torre es de 5.85 metros

La distancia que debe recorrer el salvavidas desde la base de la torre para rescatar al nadador es de 11.26 metros

Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Situación 1

Representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC: donde el lado BC (a) que equivale a la altura de la torre de salvavidas, el lado AC (b) que representa la distancia que debe recorrer el nadador -ubicado en A- hasta la base de la torre Siendo el lado AC (c) la longitud visual desde los ojos del nadador hasta la bandera de la torre vista con un ángulo de elevación de 48°

Se pide hallar:

La distancia que debe recorrer el nadador para llegar a la base de la torre

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente

Como sabemos el valor del cateto opuesto al ángulo dado - que es la altura de la torre del salvavidas y conocemos un ángulo de elevación de 48° y debemos hallar la distancia que debe recorrer el nadador para llegar hasta la base de la torre -cateto adyacente del triángulo rectángulo emplearemos la razón trigonométrica tangente

Hallamos la distancia que debe recorrer el nadador para llegar a la base de la torre

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo α $\bold{ \alpha = 48^o }$

$\boxed { \bold { tan(48^o) = \frac{cateto \ opuesto }{ cateto \ adyacente } }}$

$\boxed { \bold { tan(48^o) =\frac{altura \ torre }{ distancia\ nadador } }}$

$\boxed { \bold { distancia\ nadador = \frac{altura \ torre }{ tan(48^o) } }}$

$\boxed { \bold { distancia\ nadador = \frac{ 6.5\ metros }{ tan(48^o) } }}$

$\boxed { \bold { distancia\ nadador = \frac{ 6.5 \ metros }{1.110612514829 } }}$

$\boxed { \bold {distancia\ nadador \approx 5.85262 \ metros}}$

$\large\boxed { \bold { distancia\ nadador \approx \ 5.85\ metros}}$

Situación 2

El triángulo dado de 30-60 resulta ser lo que se denomina triángulo notable

Representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC: donde el lado BC (a) que equivale a la altura de la torre de salvavidas, el lado AC (b) que representa la distancia que debe recorrer el salvavidas desde la base de la torre hasta el nadador -ubicado en A- para salvarlo. Siendo el lado AC (c) la longitud visual desde los ojos del salvavidas en la torre hasta el nadador visto con un ángulo de depresión de 30°

Se pide hallar:

La distancia que debe recorrer el salvavidas desde la base de la torre para salvar al nadador

Por ser ángulo alterno interno- que es homólogo- se traslada el ángulo de depresión de 30° al punto A para facilitar la situación

Por ello se ha trazado una proyección horizontal

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente

Como sabemos el valor del cateto opuesto al ángulo dado - que es la altura de la torre del salvavidas y conocemos un ángulo de depresión de 30° y debemos hallar la distancia que debe recorrer el salvavidas desde la base de la torre para salvar al nadador - cateto adyacente del triángulo rectángulo emplearemos la razón trigonométrica tangente

Razones trigonométricas con ángulos notables

Hallamos la distancia que debe recorrer el salvavidas para salvar al nadador

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo α $\bold{\alpha = 30^o}$

Como el triángulo es notable de 30-60 al conocer el valor del cateto opuesto al ángulo de 30°, para hallar la dimensión del cateto adyacente basta multiplicar el valor del cateto opuesto al ángulo de 30° por √3

Los cálculos nos darán la razón

$\boxed{\bold { tan(30^o )= \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(30^o) = \frac{ altura\ torre }{ distancia \ rescate } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ rescate = \frac{ altura\ torre }{ tan(30^o) } } }$

Como tenemos un ángulo notable

$\large \textsf{El valor exacto de tan de 30 grados es } \bold {\frac{ \sqrt{3} } {3 } }$

$\boxed{\bold { distancia \ rescate = \frac{ altura\ torre }{ \frac{\sqrt{3} }{3} } }}$

$\boxed{\bold { distancia \ rescate = \frac{ 6.5\ metros }{ \frac{\sqrt{3} }{3} } }}$

$\boxed{\bold { distancia \ rescate= 6.5 \ metros\ . \ \frac{3}{\sqrt{3} } } }$

$\textsf{Operamos para quitar la ra\'iz del denominador}$

$\boxed{\bold { distancia \ rescate = 6.5 \ metros\ . \ \frac{3}{ \sqrt{3} } \ .\ \frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{3} } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ rescate = 6.5 \ metros\ . \ \frac{3 \sqrt{3} }{( \sqrt{3})^{2} } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ rescate = 6.5 \ . \ \frac{\not3 \sqrt{3} }{\not3 } \ metros } }$

$\boxed{\bold { distancia \ rescate = 6.5\sqrt{3} \ metros } }$

$\large\boxed{\bold { distancia \ rescate \approx 11.26 \ metros } }$