Matemáticas, pregunta formulada por shani63, hace 3 meses

Un nadador se dirige hacia un faro y lo observaba con un ángulo de elevación de 30°, al avanzar 110m, el nuevo ángulo de elevación se duplica. Hallar la altura del faro

Respuestas a la pregunta

Contestado por arkyta
8

La altura del faro es de 55√3 metros

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Donde el triángulo 30-60 es lo que se denomina un triángulo notable

Representamos la situación del problema en dos triángulos rectángulos:    

El triángulo rectángulo ABC el cual está conformado por el lado AC que equivale a la altura del faro, el lado BC que representa la distancia sobre la línea del agua del nadador hasta la base del faro - donde no conocemos la totalidad de esa distancia sino sólo una porción: la del segmento DB: donde el nadador-observador avanzó 110 metros hacia otro punto en el agua en dirección al faro y no sabemos la longitud del segmento DC - al cual llamaremos variable x - y el lado AB es la proyección visual hacia la cima del faro con un ángulo de elevación de 30°  

El triángulo rectángulo ACD está configurado por el lado AC que equivale a la altura del faro, el lado DC que es la distancia sobre la línea del agua del nadador hasta la base del faro luego de haber avanzado en línea recta hasta allí 110 metros. Esta distancia es de valor desconocido y es a la que llamaremos variable x. Y por último tenemos el lado AD que equivale a la proyección visual hacia la cima del faro con un ángulo de elevación de 60° -dado que avanzar el nadador 110 metros el ángulo de elevación se duplica-

Este planteo se puede observar en el gráfico adjunto

Conocemos en forma parcial la distancia hacia el punto donde se encuentra la base del faro y sabemos de dos ángulos de elevación hacia su cima, uno de ellos de 30° y el otro de 60°, dependiendo de cómo se ubique el nadador en el agua mientras observa la cima del faro en ambos casos

  • Distancia del nadador hacia la base del faro = 110 m + x
  • Ángulo de elevación = 30°
  • Ángulo de elevación = 60°
  • Debemos hallar la altura del faro

Para resolver este ejercicio vamos a plantear un sistema de ecuaciones con dos incógnitas, a las que llamaremos variable x y variable y

Donde x será la distancia a hallar desde el nadador sobre el agua hasta la base del faro luego que este avanzara hasta ese punto 110 metros

Y dónde la incógnita y será la altura del faro

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente

Dado que la altura "y" del faro es el cateto opuesto a los ángulos y en donde las diferentes distancias hacia la base del faro son los catetos adyacentes

En donde la altura "y" del faro es un valor que no cambiará para ninguna de las distancias de donde el nadador se encuentre

Luego

Como conocemos de manera parcial la medida del cateto adyacente, los dos ángulos de elevación según se sitúe el nadador en el agua, y nos piden hallar la altura del faro relacionamos los datos conocidos con la tangente

Hallamos la distancia x

Planteamos un sistema de ecuaciones

\boxed {\bold {tan (60^o)  = \frac{y}{x}         \ \ \ \ \ \ \ \ \  \ \ \  \  \  \  \ \  \to y =  x \ . \ tan(60^o )       } }

\boxed {\bold {tan (30^o)  = \frac{y}{x +110}    \ \ \ \ \ \ \ \ \ \to y = (x + 110) \ . \ tan (30^o)                  }  }

Igualamos las dos expresiones para hallar el valor de x

\boxed  { \bold {x  \ . \ tan(60^o)= (x + 110) \ . \ tan(30^o)  }}

\boxed  { \bold {x  \ . \ tan(60^o) = x \ . \ tan(30^o) +110 \ . \ tan(30^o)  }}

\boxed  { \bold {x  \ . \ tan(60^o) - x \ . \ tan(30^o) =110 \ . \ tan(30^o)  }}

\boxed  { \bold {x  \ . \ (tan(60^o) - \ tan(30^o) )=110\ . \ tan(30^o)  }}

\boxed  { \bold {x =  \frac{ 110 \ . \ tan(30^o)     }{   tan(60^o) -  \ tan(30^o)    }     }}

\large \textsf{El valor exacto de tan de 30 grados es de  }\bold{ \frac{\sqrt{3} }{3} }

\large \textsf{El valor exacto de tan de 60 grados es de  }\bold{ \sqrt{3}  }

\boxed  { \bold {x =  \frac{ 110 \ . \ \frac{\sqrt{3} }{3}      }{   \sqrt{3}  \  -  \  \frac{\sqrt{3} }{3}    }   \  m   }}

\boxed  { \bold {x =  \frac{ 110 \ . \ \frac{\sqrt{3} }{3}      }{   \sqrt{3} \ .\  \frac{3}{3} \ .  \  -  \  \frac{\sqrt{3} }{3}    }   \ m   }}

\boxed  { \bold {x =  \frac{ 110 \ . \ \frac{\sqrt{3} }{3}      }{    \frac{3\sqrt{3} }{3}   \  -  \  \frac{\sqrt{3} }{3}    }  \ m    }}

\boxed  { \bold {x =  \frac{ 110 \ . \ \frac{\sqrt{3} }{3}      }{    \frac{2\sqrt{3} }{3}      }  \  m   }}

\boxed  { \bold {x =  110 \ . \ \frac{\sqrt{3} }{3}  \ . \ \frac{3}{2\sqrt{3} }   \ m          }}

\boxed  { \bold {x =  110 \ . \ \frac{\not \sqrt{3} }{\not3}  \ . \ \frac{\not3}{2\not \sqrt{3} }            \  m }}

\boxed  { \bold {x = \frac{110}{2}            \  m }}

\large\boxed  { \bold {x =  55 \ metros          }}

La distancia x es de 55 metros

Hallamos la altura del faro

Hallamos el valor de y, reemplazando el valor hallado de x en cualquiera de las ecuaciones planteadas en el inciso anterior

Si

\large\boxed  {\bold  {y = x \ . \ tan(60^o)}}

\boxed  {\bold  {y = 55 \  m  \ . \  \sqrt{3}     }}

\large\boxed  {\bold  {y = 55 \sqrt{3}  \  m     }}

La altura del faro es de 55√3 metros    

Se adjunta gráfico que representa la situación

Adjuntos:
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