un nadador se dirige hacia un faro y lo observa con un ángulo de elevación de 30°, al avanzar 10m. el ángulo de elevación se duplica. halla la altura del faro.
Respuestas a la pregunta
La altura h del faro es de 5√3 metros
Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.
Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.
Donde el triángulo 30-60 es lo que se denomina un triángulo notable
Representamos la situación del problema en dos triángulos rectángulos:
El triángulo rectángulo ABC: el cual está conformado por el lado AC que equivale a la altura del faro, el lado BC que representa la distancia sobre el agua desde el nadador hasta la base del faro -donde no conocemos la totalidad de esa distancia sino sólo una porción- : la del segmento DB: donde el observador avanzó hacia el faro 10 metros hasta otro punto sobre el agua o de observación, y no sabemos la longitud del segmento DC - a la cual llamaremos distancia "x" - y el lado AB es la proyección visual hasta la parte superior del faro visto con un ángulo de elevación de 30°
El triángulo rectángulo ACD: el cual está configurado por el lado AC que equivale a la altura del faro, el lado DC que es la distancia sobre el plano del agua desde el nadador -ubicado en el segundo punto de avistamiento- hasta la base del faro luego de haber avanzado en línea recta hacia allí 10 metros. Esta distancia es de valor desconocido y es a la que llamamos distancia "x". Y por último tenemos el lado AD que equivale a la proyección visual hasta la cima del faro visto con un ángulo de elevación de 60°, dado que al dirigirse hacia el faro -al avanzar 10 metros- el nuevo ángulo se duplica
Donde se pide hallar:
La altura h del faro
Para resolver este ejercicio vamos a plantear un sistema de ecuaciones con dos incógnitas, a las que llamaremos variable x y variable h
Donde "x" será la distancia a hallar sobre la línea del agua hasta la base del faro luego de haber nadado desde el primer punto de observación 10 metros, alcanzando el segundo punto de avistamiento
Y dónde la incógnita "h" será la altura del faro
Dado que la tangente de un ángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:
Siendo la altura "h" del faro el cateto opuesto a los ángulos dados y en donde las diferentes distancias hasta el faro son los catetos adyacentes de los respectivos ángulos de elevación
En donde la altura "h" del faro es un valor que no cambiará para ninguna de las distancias de donde el nadador se encuentre
Y como conocemos de manera parcial la medida del cateto adyacente, los dos ángulos de elevación según se sitúe la persona en un punto sobre el agua, y nos piden hallar la altura del faro emplearemos la razón trigonométrica tangente para determinar la incógnita
Hallamos la distancia x
Planteamos un sistema de ecuaciones
Igualamos las dos expresiones para hallar el valor de x
La distancia x es de 5 metros
Hallamos la altura h del faro
Hallamos el valor de h, reemplazando el valor hallado de x en cualquiera de las ecuaciones planteadas en el inciso anterior
Si
La altura h del faro es de 5√3 metros
Se adjunta gráfico a escala que representa la situación
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