Question

Un nadador se dirige hacia un faro y lo observa con un ángulo de elevación de 30°, al avanzar 10m, el ángulo de elevación se duplica. Halla la altura del faro .

Answer 1

La altura h del faro es de 5√3 metros

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Donde el triángulo 30-60 es lo que se denomina un triángulo notable

Representamos la situación del problema en dos triángulos rectángulos:    

El ABC: el cual está conformado por el lado AC que equivale a la altura del faro, el lado BC que representa la distancia sobre el plano del agua desde el observador hasta la base del faro -donde no conocemos la totalidad de esa distancia sino sólo una porción- : la del segmento DB: donde el nadador avanzó hacia el faro 10 metros hasta otro punto en el agua o de observación, y no sabemos la longitud del segmento DC - a la cual llamaremos distancia "x" - y el lado AB es la línea visual hasta la parte superior del faro visto con un ángulo de elevación de 30°

El ACD: el cual está configurado por el lado AC que equivale a la altura del faro, el lado DC que es la distancia sobre el plano del agua desde el observador -ubicado en el segundo punto de avistamiento- hasta la base del faro luego de haber avanzado en línea recta hacia allí 10 metros. Esta distancia es de valor desconocido y es a la que llamamos distancia "x". Y por último tenemos el lado AD que equivale a la línea visual hasta la cima del faro visto con un ángulo de elevación de 60° -dado que al avanzar 10 metros el ángulo de elevación se duplica-

Donde se pide hallar:

La altura h del faro

Para resolver este ejercicio vamos a plantear un sistema de ecuaciones con dos incógnitas, a las que llamaremos variable x y variable h

Donde "x" será la distancia a hallar sobre la línea del agua hasta la base del faro luego de haber avanzado desde el primer punto de observación 10 metros, alcanzando el segundo punto de avistamiento

Y donde la incógnita "h" será la altura del faro

Dado que la tangente de un ángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:

Siendo la altura "h" del faro el cateto opuesto a los ángulos dados y en donde las diferentes distancias hasta el faro son los catetos adyacentes de los respectivos ángulos de elevación

En donde la altura "h" del faro es un valor que no cambiará para ninguna de las distancias de donde el  nadador - observador se encuentre

Y como conocemos de manera parcial la medida del cateto adyacente, los dos ángulos de elevación según se sitúe el nadador en un punto del plano del agua, y nos piden hallar la altura del faro emplearemos la razón trigonométrica tangente para determinar la incógnita

Hallamos la distancia x

Planteamos un sistema de ecuaciones

$\boxed {\bold {tan (60^o) = \frac{h}{x} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \to h = x \ . \ tan(60^o ) } }$

$\boxed {\bold {tan (30^o) = \frac{h}{x +10} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \to h = (x + 10) \ . \ tan (30^o) } }$

Igualamos las dos expresiones para hallar el valor de x

$\boxed { \bold {x \ . \ tan(60^o)= (x + 10) \ . \ tan(30^o) }}$

$\boxed { \bold {x \ . \ tan(60^o) = x \ . \ tan(30^o) +10 \ . \ tan(30^o) }}$

$\boxed { \bold {x \ . \ tan(60^o) - x \ . \ tan(30^o) =10 \ . \ tan(30^o) }}$

$\boxed { \bold {x \ . \ (tan(60^o) - \ tan(30^o) )=10\ . \ tan(30^o) }}$

$\boxed { \bold {x = \frac{ 10 \ . \ tan(30^o) }{ tan(60^o) - \ tan(30^o) } }}$

$\large \textsf{El valor exacto de tan de 30 grados es de }\bold{ \frac{\sqrt{3} }{3} }$

$\large \textsf{El valor exacto de tan de 60 grados es de }\bold{ \sqrt{3} }$

$\boxed { \bold {x = \frac{ 10 \ . \ \frac{\sqrt{3} }{3} }{ \sqrt{3} \ - \ \frac{\sqrt{3} }{3} } \ m }}$

$\boxed { \bold {x = \frac{ 10 \ . \ \frac{\sqrt{3} }{3} }{ \sqrt{3} \ .\ \frac{3}{3} \ . \ - \ \frac{\sqrt{3} }{3} } \ m }}$

$\boxed { \bold {x = \frac{ 10 \ . \ \frac{\sqrt{3} }{3} }{ \frac{3\sqrt{3} }{3} \ - \ \frac{\sqrt{3} }{3} } \ m }}$

$\boxed { \bold {x = \frac{ 10 \ . \ \frac{\sqrt{3} }{3} }{ \frac{2\sqrt{3} }{3} } \ m }}$

$\boxed { \bold {x = 10 \ . \ \frac{\sqrt{3} }{3} \ . \ \frac{3}{2\sqrt{3} } \ m }}$

$\boxed { \bold {x = 10 \ . \ \frac{\not \sqrt{3} }{\not3} \ . \ \frac{\not3}{2\not \sqrt{3} } \ m }}$

$\boxed { \bold {x = \frac{10}{2} \ m }}$

$\large\boxed { \bold {x = 5 \ metros }}$

La distancia x es de 5 metros

Hallamos la altura h del faro

Hallamos el valor de h, reemplazando el valor hallado de x en cualquiera de las ecuaciones planteadas en el inciso anterior

Si

$\large\boxed {\bold {h = x \ . \ tan(60^o)}}$

$\boxed {\bold {h = 5 \ m \ . \ \sqrt{3} }}$

$\large\boxed {\bold {h = 5 \sqrt{3} \ metros }}$

$\textsf{Expresado de manera decimal: }$

$\boxed {\bold {h \approx 8.66 \ metros }}$

La altura h del faro es de 5√3 metros

Se adjunta gráfico a escala que representa la situación