un movimiento armónico simple tiene la amplitud 8 cm y un período de 4 s calcular la velocidad y la aceleración porfavor es para mañana bien explicado
Respuestas a la pregunta
Una part´ıcula que vibra a lo largo de un segmento de 10 cm de longitud tiene en el
instante inicial su m´axima velocidad que es de 20 cm/s. Determina las constantes del mo-
vimiento (amplitud, fase inicial, pulsaci´on, frecuencia y periodo) y escribe las expresiones
de la elongaci´on, velocidad y aceleraci´on. Calcula la elongaci´on, velocidad y aceleraci´on
en el instante t = 1,75 π s. ¿Cu´al es la diferencia de fase entre este instante y el instante
inicial?
Soluci´on 2
La amplitud es igual a la mitad del segmento recorrido: A = 5·10−2 m. Las expresiones
generales de la elongaci´on y de la velocidad son:
x = A · sin(ω · t + ϕ0); v =
dx
dt
= A · ω · cos(ω · t + ϕ0)
Como en el instante inicial la velocidad es m´axima, se tiene que la fase inicial es:
cos(ω · 0 + ϕ0) = 1 ⇒ ϕ0 = 0 rad
Del valor de la m´axima velocidad se deducen el resto de las constantes del movimiento.
vma´xima = A · ω = 0,20 m/s ⇒ ω =
vma´x
A
=
0,20
0,05
= 4 rad/s
ν =
ω
2π
=
4
2π
=
2
π
Hz; T =
1
ν
=
π
2
s
Las expresiones de la elongaci´on, velocidad y aceleraci´on y sus valores en el instante
indicado, t = 1,75 · π s, son:
x = A · sin(ω · t + ϕ0) = 0,05 · sin(4 · t) ⇒ xt = 0,05 · sin(4 · 1,75 · π) = 0 m
v =
dx
dt
= 0,2 · cos(4 · t) ⇒ vt = 0,2 · cos(4 · 1,75 · π) = −0,2 m/s
a =
dv
dt
= −0,8 · sin(4 · t) ⇒ at = −0,8 · sin(4 · 1,75 · π) = 0 m/s2
La diferencia de fase entre el instante inicial y el t = 1,75 · π s es:
∆ϕ = ϕt − ϕ0 = ω · 1,75 · π − 0 = 4 · 1,75 · π = 7 · π rad = (3 · 2 · π + π) rad
Las expresiones generales de la elongaci´on y de la velocidad son:
x = A sin(ωt + ϕ0)
v = Aω cos(ωt + ϕ0)
Multiplicando la primera expresi´on por ω y elevando al cuadrado ambas expresiones se
tiene:
x
2ω
2 = A
2ω
2
sin2
(ωt + ϕ0)
v
2 = A
2ω
2
cos2
(ωt + ϕ0)
Sumando y operando:
x
2ω
2 + v
2 = A
2ω
2
v
2 = ω
2
(A
2 − x
2
) ⇒ v = ± ω
q
(A2 − x
2
)
El signo doble se debe a que la trayectoria se puede recorrer en ambos sentidos en una
misma posici´on.
Ejercicio 4
Un resorte se alarga 4 cm cuando se cuelga de ´el un objeto de 20 kg de masa. A
continuaci´on, se estira el resorte 3 cm m´as y se le deja que oscile libremente. Determina
el periodo y la pulsaci´on del movimiento. Calcula los valores de la elongaci´on, velocidad,
aceleraci´on y dureza el´astica a los 2,1 s de iniciado el movimiento. ¿Cu´al es la diferencia
de fase entre este instante y el instante inicial?
Soluci´on 4
Aplicando la ley de Hooke:
k =
F
y
=
m g
y
=
20 · 9,8
0,04
= 4900 N/m
El periodo del movimiento y la pulsaci´on son:
T = 2 π
rm
k
= 2 π
s
20
4900
= 0,4 s ⇒ ω =
2 π
T
=
2 π
0,4
= 5 π rad/s
El movimiento comienza en el punto m´as bajo de la vibraci´on, por ello si para su
descripci´on se utiliza la funci´on sin ϕ, entonces la fase inicial es ϕ0 = 3 π/2 rad.
Las expresiones de la elongaci´on, velocidad, aceleraci´on y fuerza el´astica y sus valores
a los 2,1 s de iniciado el movimiento son:
y = 0,03 sin(5 π t + 3 π/2) ⇒ y2,1 = 0,03 sin(5 π · 2,1 + 3 π/2) = 0 m