Un móvil se desplaza con una velocidad de 10,8 km/h y recorre 450 m acelerando a razón de 1,2 m/seg2: a) ¿Cuánto tiempo estuvo acelerado? b) ¿Qué velocidad adquiere cuando ha recorrido los primeros 90 m?
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Explicación:
a) asumiendo que la aceleración es constante, la posición de un cuerpo con movimiento acelerado está determinado por la formula:
x(t) = a/2 *t^2 + vo*t + x(0)
donde a es la aceleración, v0 es la velocidad inicial con la que partió el cuerpo antes de ser acelerado y x0 es la posición inicial del cuerpo antes de moverse de forma acelerada. Vamos a trabajar en metros por lo que debemos convertir la velocidad inicial en m/s:
10,8 km/h = 10800m/3600s = 3.0 m/s
La distancia (d) sería x(t) - x0.
d = x(t)-x0 = (1.2 m/s )/2 *t^2 + 3m/s *t = 450m
0.6 m/s^2 *t^2 + 3m/s *t - 450m = 0
Al igual que cualquier ecuación de segundo grado se puede solucionar con la formula general de las ecuaciones cuadráticas:
t1 , t2 =
[ -b +- √ (b^2 -4*a*c) ] / 2*a
[ -3 +- √ (3^2 -4*0.6*-450) ] /2*0.6
[ -3 +- √ 1089 ] / 1.2
[ -3 + - 33 ] / 1.2
t1 = [ -3 + 33 ] / 1.2 = 30 / 1.2 = 25
t2 = [ -3 -33 ] / 1.2 = -36/1.2 = -30
Téngase en cuenta 2 cosas: la primera que el tiempo está basado en unidades de segundo debido a que las unidades de medidas son m/s y m/s^2 para la velocidad y aceleración respectivamente; la segunda es la interpretación física del resultado puesto a que como es una ecuación de 2do grado nos ofrece 2 posibles resultados, uno es 25 segundos y el otro -30 segundos, siendo este último un resultado que no concuerda con nuestro marco físico porque implicaría que hizo el recorrido unos 30 segundos antes de acelerar, cosa no tiene sentido dado el problema. Por lo tanto la solución al mismo es de 25 segundos
La velocidad al recorrer los 90m estará dada por:
a = (v(t) - v0) / t
Por lo que necesitamos saber en que tiempo hizo esos 90 metros.
d = 0.6 m/s^2 *t^2 + 3m/s *t = 90m
0.6 m/s^2 *t^2 + 3m/s *t - 90m = 0
Nuevamente aplico la formula general de las ecuaciones cuadráticas:
t1 , t2 =
[ -3 + - √ ( 3^2 -4*0.6*-90 ) ] / 1.2
[ -3 + - 15 ] / 1.2
t1 = -3 + 15 / 1.2 = 12 / 1.2 = 10
t2 = -3 - 15 / 1.2 = -18 / 1.2 = -15
Nuevamente el tiempo en que recorre los 90m son 10 segundos. por lo tanto:
a = ( v(10s) - v0 ) / 10s
1.2 m/s^2 = ( v(10s) - 3m/s ) / 10s
1.2m/s^2 * 10s + 3m/s = v(10s) = 15m/s