Question

Un minero desea abrir un túnel desde un punto A hasta un punto B situado 80m. más abajo que A y 240m. al este de él. Debajo del nivel de A es roca; arriba de este nivel es tierra blanda. Si el costo de la construcción del túnel es de $30.00 por metro lineal en tierra y $78.00 por metro lineal en roca. Hállese el menor costo del túnel.

Answer 1

- Para realizar el túnel el minero tiene tres rutas: 

-  1) Excavando en linea recta horizontalmente  240 m al este a través de la tierra blanda y luego, 80 m verticales a través de roca, como se muestra en la figura.

-  2) Excavando en linea recta en forma vertical 80 m  y luego 240 m al este, a través de la roca.

 - 3) Excavando en diagonal a través de la roca desde el punto A a B.

-  Para la Ruta 1, el costo de construcción (Cr1) esta dado por  los metros escavados por el costo por metro lineal de tierra o roca, como sigue:

Cr1 = 240 m x 30.00 $/m + 80 m x 78 $/m = 13440.00 $

- El costo de la Ruta 2 (Cr2), será:

 Cr2 = 80 x 78 $/m + 240 m x 78 $/m = 320 m x 78 $/m = 24960.00 $

- Antes de estimar el costo de la ruta 3 (Cr3), determinemos la longitud de la diagonal entre A y B a través de la roca, esta diagonal representa la hipotenusa del triángulo rectángulo (h) y su determinación se hará  utilizando el Teorema de Pitagoras:

 h = √[(80 m)² +(240 m)² ] = √(6400 m² + 57600 m²) ⇒ h = 253 m

- El costo de la Ruta 3 (Cr3) es igual a:

  Cr3 = 253 m x 78.00 $/m = 19374.00 $

- Al comparar los costos de las tres rutas, se puede ver que el menor costo es el de la ruta 1 (Cr1) igual a 13440.00 $