Question

Un listón de madera se coloca sobre un pozo de 5 m de ancho, a lo largo del eje X. Un niño intrépido se sitúa en la mitad del listón y empieza a saltar verticalmente, de forma tal que, salta dos veces por cada segundo; lo que ocasiona que el listón oscile con una amplitud que es máxima en su centro. Si las ondas estacionarias formadas tienen nodos en los dos extremos que descansan en el suelo a cada lado del pozo. determine:
a. La rapidez que tienen las ondas transversales en el listón.
b. La frecuencia a la que deberá saltar el niño para producir oscilaciones de máxima amplitud, si está parado a 1,25 m del borde del pozo.
c. La frecuencia con la que debería saltar para que el listón vibre en su cuarto armónico.
d. La ecuación de la onda viajera, dirigida hacia el eje X+, producida por el niño al saltar sobre el listón, y es componente de la onda estacionaria cuando éste vibra en su segundo armónico.

Answer 1

Cuando ocurre este evento se genera una onda estacionaria en la tabla y tenemos:

a) Las ondas se propagan con una rapidez de 20 metros por segundo.

b) Si el niño está 1,25 metros del borde, tiene que saltar 4 veces por segundo para que la tabla vibre a máxima amplitud.

c) Para que el listón vibre en su cuarto armónico, el niño debe saltar 8 veces por segundo.

d) La onda estacionaria generada cuando la tabla vibra en el segundo armónico es $y(x,t)=A.sen(50,27s^{-1} .t-1,26xm^{-1} x)$

Explicación:

a) Si el niño está parado en la mitad de la tabla, la onda vibra en su frecuencia fundamental cuya longitud de onda es el doble de la longitud de la tabla, por lo que la velocidad es:

$\lambda.f=v\\v=2L.f=2.5m.2Hz=20\frac{m}{s}$

b) Si el niño ahora está parado a 1,25 metros del borde, eso es un cuarto de la longitud de la tabla. Con lo cual, la onda ahora vibra en su segundo armónico, cuya longitud de onda es igual a la longitud del listón. Como la velocidad de propagación es la misma, la frecuencia es:

$f=\frac{v}{\lambda}=\frac{20\frac{m}{s}}{5m}=4Hz$

Con lo cual el niño tendría que saltar 4 veces por segundo para que la onda tenga amplitud máxima.

c) En el cuarto armónico, la longitud de onda es:

$\lambda=\frac{2L}{4}=\frac{L}{2}$

Y la frecuencia con la que debería saltar el niño es:

$f=\frac{v}{\lambda}=\frac{20\frac{m}{s}}{\frac{L}{2}}=\frac{20\frac{m}{s}}{\frac{5m}{2}}\\\\f=8Hz$

d) La ecuación general de la onda estacionaria es $y(x,t)=A.sen(wt-kx)$, por lo que la ecuación de la onda en el segundo armónico es:

$y(x,t)=A.sen(2\pi.f.t-\frac{2\pi}{\lambda}.x)\\\\\lambda=L, f=4Hz\\\\y(x,t)=A.sen(2\pi.8Hz.t-\frac{2\pi}{5m}x)\\\\y(x,t)=A.sen(50,27s^{-1} .t-1,26xm^{-1} x)$