Question

Un lado de un campo rectangular está limitado por un río. Un granjero tiene 100 yardas de cerca y quiere cubrir los otros tres lados del campo. Si quiere encerrar un área de al menos 800 yardas cuadradas, ¿cuáles son los posibles valores para la longitud del campo a lo largo del río?.

Answer 1

Respuesta: 10 a 40 // 80 a 20

Explicación paso a paso:
Lado 1 = x
Lado 2 = y
Si un lado está limitado por el río, el perímetro a cubrir con 100 yardas:
2x+y=100
y=100-2x...(1)
Área de al menos 800 yardas, significa que debe ser mayor que 800 o por lo menos igual a 800
$xy\geq 800\\x(100-2x)\geq 800\\100x-2x^{2} \geq 800$
Sacamos mitad, ordenamos y completamos cuadrados

$x^{2} -50x\leq -400\\x^{2} -50x+625\leq -400+625\\(x-25)^2\leq 225\\x-25\leq 15.,.,.. x-25\leq -15\\x-40\leq 0...,...x-10\leq 0\\(x-40)(x-10)\leq 0$
Aplicando puntos críticos:

$P.C....x=10,x=40$

$+................-...............+\\---|-----|---\\..........10................40.........$

La inecuación pide menores a 0, tomamos el intervalo "-" de 10 a 40
C.S. x=[10,40]
Reemplazando en (1)
y=100-2x
C.S. y=[80,20]
No especifica que lado limita con el río:
Si el lado que limita con el río fuera el "x" toma valores de 10 a 40
Si el lado que limita con el río fuera el "y" toma valores de 80 a 20
*Sólo como ejemplo, tomamos cualquier valor en el intervalo de "x" debe cumplir que el perímetro a cubrir con cerca sea 100 (sin el lado del rio) y que su área sea mayor o igual que 800
Si x=15, y=70 por la ecuación (1)
Perímetro a cubrir sin el lado del río 2x+y = 2(15) +70 = 100 (cumple)
Área xy = 15(70) = 1050 (cumple)