Question

Un jugador de fútbol americano patea el balón con una velocidad inicial de 35m/s, y este mismo lleva
un ángulo de 48 ̊ respecto a la horizontal. Calcule: a) alcance máximo, b) altura máxima, y c) tiempo
de vuelo.
Respuestas:
a)124.188m
b) 34.481m
c) 5.302s

Answer 1

a) El alcance máximo del balón es de 124.188 metros

b) La altura máxima alcanzada por el balón es de 34.481 metros

c) El tiempo de vuelo del balón es de 5.302 segundos

Se trata de un problema de tiro parabólico que consiste en una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, debido a la fuerza de la gravedad. Ambos movimientos poseen velocidad inicial y son independientes uno del otro.

a) Cálculo del alcance máximo

La ecuación de alcance máximo de un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { x_{max} =\frac{( V _{0})^{2} \ . \ sen (2 \theta) }{ g } }}$

Donde

$\bold { x_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es el alcance m\'aximo del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\large\textsf{Consideramos el valor de la gravedad } \bold {9.81 \ \frac{m}{s^{2} } }$

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{( 35 \ \frac{m}{s} )^{2} \ . \ sen (2 \ . \ 48^o ) }{9.81 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ 1225 \ \frac{m^{2} }{s^{2} } \ . \ sen (96^o ) }{ 9.81 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ 1225 \ \frac{m^{\not 2} }{\not s^{2} } \ . \ 0.9945218953 }{ 9.81 \ \frac{\not m}{\not s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ 1225 \ . \ 0.9945218953 }{ 9.81 } \ metros }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{1218.2893218 }{ 9.81 } \ metros }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =124.188513\ metros }}$

$\large\boxed {\bold { x_{max} = 124.188 \ metros }}$

El alcance máximo del balón es de 124.188 metros

b) Hallamos la altura máxima

La altura máxima que alcanza un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { H_{max} =\frac{( V_{0})^{2} \ . \ sen^{2} \theta }{2 \ . \ g } }}$

Donde

$\bold { H_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es la altura m\'axima del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{(35 \ \frac{m}{s} )^{2} \ . \ sen^{2} \ (48^o) }{2 \ . \ 9.81\ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{1225\ \frac{m^{\not 2} }{\not s^{2} } \ . \ (0.7431448254)^{2} }{19.62\ \frac{\not m}{\not s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{1225 \ . \ 0.5522642316 }{ 19.62\ } \ metros }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{676.52368375 }{ 19.62\ } \ metros }}$

$\boxed {\bold { H_{max} = 34.481329\ metros }}$

$\large\boxed {\bold { H_{max} = Y_{max} = 34.481\ metros }}$

La altura máxima que alcanza el balón es de 34.481 metros

c) Hallamos el tiempo de vuelo del balón de fútbol

La ecuación del tiempo de vuelo de un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { t_{V} =\frac{2 \ V _{0} \ . \ sen \ \theta }{ g } }}$

Donde

$\bold { t_{v} } \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el tiempo de vuelo del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{2 \ . \ (35 \ \frac{m}{s} ) \ . \ sen \ (48^o) }{9.81 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{70\ \frac{\not m}{\not s} \ . \ 0.7431448254 }{9.81 \ \frac{\not m}{s^{\not 2} } } }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{70\ \ . \ 0.7431448254 }{9.81 \ } \ segundos }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{52.020137783 }{9.81 \ } \ segundos }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =5.302766\ segundos }}$

$\large\boxed {\bold { t _{v} =5.302 \ segundos }}$

El tiempo de vuelo del balón es de 5.302 segundos

Se agrega gráfico que evidencia la trayectoria del movimiento