Question

un jugador de fútbol americano patea el balón con una velocidad de 25m/s,y este mismo lleva un ángulo de elevación de 42 ° respecto a la horizontal.calcule a) altura b) alcance c)tiempo que pertenece en el aire ​

Answer 1

a) La altura máxima alcanzada por el proyectil es de 14 metros

b) El alcance máximo del proyectil es de 62.16 metros

c) El tiempo de vuelo del proyectil es de 3.35 segundos

Se trata de un problema de tiro parabólico que consiste en una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, debido a la fuerza de la gravedad. Ambos movimientos poseen velocidad inicial y son independientes uno del otro.

Solución  

a) Hallamos la altura máxima

La altura máxima que alcanza un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { H_{max} =\frac{( V_{0})^{2} \ . \ sen^{2} \theta }{2 \ . \ g } }}$

Donde

$\bold { H_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es la altura m\'axima del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\large\textsf{Consideramos el valor de la gravedad } \bold {10 \ \frac{m}{s^{2} } }$

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{(25 \ \frac{m}{s} )^{2} \ . \ sen^{2} \ (42^o) }{2 \ . \ 10 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{625\ \frac{m^{\not 2} }{\not s^{2} } \ . \ (0.6691306063588)^{2} }{20\ \frac{\not m}{\not s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{625 \ . \ 0.4477357683661 }{ 20\ } \ metros }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{279.83485522885 }{ 20 } \ metros }}$

$\boxed {\bold { H_{max} = 13.99\ metros }}$

$\large\boxed {\bold { H_{max} = Y_{max} = 14\ metros }}$

La altura máxima que alcanza el proyectil es de 14 metros

b) Cálculo del alcance

La ecuación del alcance máximo de un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { x_{max} =\frac{( V _{0})^{2} \ . \ sen (2 \theta) }{ g } }}$

Donde

$\bold { x_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es el alcance m\'aximo del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{( 25 \ \frac{m}{s} )^{2} \ . \ sen (2 \ . \ 42^o ) }{10 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ 625 \ \frac{m^{2} }{s^{2} } \ . \ sen (84^o ) }{ 10 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ 625 \ \frac{m^{\not 2} }{\not s^{2} } \ . \ 0.9945218953682 }{ 10 \ \frac{\not m}{\not s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ 625 \ . \ 0.9945218953682 }{ 10 } \ metros }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{621.57618460517 }{ 10 } \ metros }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =62.1576\ metros }}$

$\large\boxed {\bold { x_{max} = 62.16 \ metros }}$

El alcance máximo del proyectil es de 62.16 metros

c) Hallamos el tiempo de vuelo o de permanencia en el aire

La ecuación del tiempo de vuelo de un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { t_{V} =\frac{2 \ V _{0} \ . \ sen \ \theta }{ g } }}$

Donde

$\bold { t_{v} } \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el tiempo de vuelo del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{2 \ . \ (25 \ \frac{m}{s} ) \ . \ sen \ (42^o) }{10 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{50\ \frac{\not m}{\not s} \ . \ 0.6691306063588 }{10 \ \frac{\not m}{s^{\not 2} } } }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{50\ \ . \ 0.6691306063588 }{10 } \ segundos }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{33.456530317942 }{10 } \ segundos }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =3.34565\ segundos }}$

$\large\boxed {\bold { t _{v} =3.35 \ segundos }}$

El tiempo de vuelo del proyectil es de 3.35 segundos

Se agrega gráfico que evidencia la trayectoria del movimiento