Un jugador de fut realiza un tiro de punta pie en un campeonato distrital, el balón se desplaza desarrollando una trayectoria parabólica, siendo su posición representado por el par (t,d), donde “t ” representa el tiempo en segundos y “d” la altura en metros del balón respecto al piso. En los 2 primeros segundos de su trayectoria el balón alcanza una altura de 20 metros, y 1 segundos más tarde alcanza 7 metros más de altura. Si el balón toca por primera vez el piso en 12 segundos.
a) Determinar la ecuación de la parábola que describió la trayectoria del balón de futbol.
b) Determinar el vértice, foco, lado recto, eje focal, recta directriz de la parábola que describió la trayectoria del balón de futbol.
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
a. d(t)=-1(t-6)^2+36 es la ecuación parabólica que describe la trayectoria del balón de fútbol.
b.
d(t)=-1(t-6)^2+36
ecuación parabólica (x)=-4p(x-h)^2+k
elementos:
vértice (h,k)=(6,36)
p=1/4
foco:(6,35.75)
Directriz: y=36.25
eje focal: x=6
lado recto:4p=4(1/4)=1
Explicación paso a paso:
a.
si describe una trayectoria parabólica, entonces la función posición está representado por:
d(t)=at^2+bt+c,t[s]y d[m]
para t=2, d=20
d(2)=a*2^2+b*2+c=4a+2b+c=20
pata t=3,d=27
d(3)=a*3^2+b*3+c=9a+3b+c=27
para t=12 , d=0
d(12)=a*12^2+b*12+c=144a+12b+c=0
Planteamos el sistema de ecuaciones:
4a+2b+c=20
9a+3b+c=27
144a+12b+c=0
resolvemos por la regla de Cramer:
Δ=144 12 1 = -90
4 2 1
9 3 1
Δ1= 0 12 1 = 90
20 2 1
27 3 1
Δ2= 144 0 1 = -1080
4 20 1
9 27 1
Δ3= 144 12 0 = 0
4 2 20
9 3 27
a=Δ1/Δ=90/(-90)=-1
b=Δ2/Δ=(-1080)/(-90)=12
c=Δ3/Δ=0/(-90)=0
Por lo tanto, reemplazando para obtener la ecuación parabólica,
d(t)=at^2+bt+c
d(t)=-1t^2+12t+0
d(t)=-1(t^2-12t)+0
d(t)=-1[(t-6)^2-36]
d(t)=-1(t-6)^2+36
b.
d(t)=-1(t-6)^2+36
ecuación parabólica ∶f(x)=-4p(x-h)^2+k
elementos:
vértice (h, k)=(6,36)
p=1/4
foco:(6,35.75)
Directriz: y=36.25
eje focal: x=6
lado recto:4p=4(1/4)=1