un jugador de beisbol lanza una pelota que sigue la trayectoria descrita por la parabola
x²-90x + 60y + 105 = 0
¿cual es la 3cuacion ordinaria de la trayectoria?
¿cuál es la altura máxima alcanzada por la pelota?
¿a que distancia del jugador caerá la pelota?
porfavor la necesito si no te la sabes no respondas ya que después quien lo sabe no puede contestar gracias
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Respuesta:
Altura máxima = 30
Distancia entre el jugador y la pelota = 80
Explicación paso a paso:
Para la altura máxima
Lo que buscamos es el vértice de la parábola y para esto hay dos métodos: completar cuadrados o usar una fórmula (si es que ya la conoce)
Completemos cuadrados:
3x^{2}-240x + 160y = 03x
2
−240x+160y=0
3x^{2}-240x = -160y3x
2
−240x=−160y (pasamos el 160y160y restando)
3(x^{2}-80x) =-160y3(x
2
−80x)=−160y (factorizamos un 33 )
3\left[x^{2}- 80x + \left(\frac{80}{2} \right) ^{2} \right] = -160 + 3\left(\frac{80}{2} \right) ^{2}3[x
2
−80x+(
2
80
)
2
]=−160+3(
2
80
)
2
(sumamos a ambos lados de la ecuación la mitad de 80 (o sea 40) y la elevamos al cuadrado. No olvidemos que está afectado por un 3)
3(x-40)^{2}=-160y + 48003(x−40)
2
=−160y+4800 (completamos trinomio cuadrado perfecto)
3(x-40)^{2}=-160(y - 30)3(x−40)
2
=−160(y−30) (factorizamos el -160−160 )
(x-40)^{2}=- \dfrac{160}{3} (y-30)(x−40)
2
=−
3
160
(y−30) (pasamos el 3 dividiendo).
Esta última igualdad es la ecuación ordinaria de la parábola de la forma
(x-h)^{2} = 4p(y-k)(x−h)
2
=4p(y−k)
donde (h,k)(h,k) es el vértice que buscamos.
Dado que k=30k=30 entonces esa es la altura máxima.
Usando la fórmula:
Tenemos que lograr que la ecuación sea del tipo
y=ax^{2} +bx+c, \quad a\neq 0y=ax
2
+bx+c,a
=0
Entonces
160y = -3x^{2}+ 240x160y=−3x
2
+240x (pasamos restando a los términos 3x^{2}3x
2
y -240x−240x )
y = \dfrac{-3}{160}x^{2}+\dfrac{240}{160}xy=
160
−3
x
2
+
160
240
x (dividimos entre 160160 )
y = -\dfrac{3}{160}x^{2}+\dfrac{3}{2}xy=−
160
3
x
2
+
2
3
x
Ahora h=-\frac{b}{2a}h=−
2a
b
, y para nuestro caso b=\frac{3}{2}b=
2
3
y a = - \frac{3}{160}a=−
160
3
, así
h=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{\frac{3}{2} }{2\times -\frac{3}{160} }=40h=−
2a
b
=−
2×−
160
3
2
3
=40
y cuando x=h=40x=h=40 , obtenemos
y=k=-\dfrac{3}{160} (40)^{2}+\dfrac{3}{2}(40)=30y=k=−
160
3
(40)
2
+
2
3
(40)=30
que es precisamente lo mismo.
Para la distancia
Obviamente el jugador está parado sobre el piso, y luego buscamos el punto cuando la pelota cae al suelo, esto matemáticamente quiere decir cuando y=0y=0 (es decir, cuando no hay altura sobre el nivel del piso); así que es nuestra ecuación inicial 3x^{2} - 240x + 160y = 03x
2
−240x+160y=0 hacemos a y=0y=0 y resolvemos
3x^{2}- 240x + 160(0) = 03x
2
−240x+160(0)=0
3x^{2}- 240x = 03x
2
−240x=0
(3x - 240)x = 0(3x−240)x=0 (factorizamos a xx )
de donde hallamos dos ecuaciones lineales
(1) 3x - 240 = 03x−240=0
(2) x = 0x=0
Las cuales las soluciones, respectivamente son x=80x=80 y x = 0x=0 , por lo tanto la distancia entre los puntos (0,0)(0,0) y (80,0)(80,0) es 80, que es la distancia entre el jugador y la pelota cuando ésta ha caído al suelo.