Un jugador de beisbol lanza una pelota que sigue la trayectoria descrita por la parábola
3x²-240x+160y=0
¿Cual es la altura máxima alcanzada por la pelota?y¿a que distancia cae del jugador?
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Altura máxima = 30
Distancia entre el jugador y la pelota = 80
Explicación paso a paso:
Para la altura máxima
Lo que buscamos es el vértice de la parábola y para esto hay dos métodos: completar cuadrados o usar una fórmula (si es que ya la conoce)
Completemos cuadrados:
(pasamos el restando)
(factorizamos un )
(sumamos a ambos lados de la ecuación la mitad de 80 (o sea 40) y la elevamos al cuadrado. No olvidemos que está afectado por un 3)
(completamos trinomio cuadrado perfecto)
(factorizamos el )
(pasamos el 3 dividiendo).
Esta última igualdad es la ecuación ordinaria de la parábola de la forma
donde es el vértice que buscamos.
Dado que entonces esa es la altura máxima.
Usando la fórmula:
Tenemos que lograr que la ecuación sea del tipo
Entonces
(pasamos restando a los términos y )
(dividimos entre )
Ahora , y para nuestro caso y , así
y cuando , obtenemos
que es precisamente lo mismo.
Para la distancia
Obviamente el jugador está parado sobre el piso, y luego buscamos el punto cuando la pelota cae al suelo, esto matemáticamente quiere decir cuando (es decir, cuando no hay altura sobre el nivel del piso); así que es nuestra ecuación inicial hacemos a y resolvemos
(factorizamos a )
de donde hallamos dos ecuaciones lineales
(1)
(2)
Las cuales las soluciones, respectivamente son y , por lo tanto la distancia entre los puntos y es 80, que es la distancia entre el jugador y la pelota cuando ésta ha caído al suelo.
La altura máxima es de 90 metros y el alcance máximo es de 40 metros
Tenemos que la altura de la pelota se describe por la trayectoria:
3x² - 240x + 160y = 0
Despejamos el valor de la variable "y"
160y = -3x² + 240x
y = -3x²/160 + 240x/160
y = -0.01875x² + 1.5x
Tenemos una ecuación cuadrática con coeficiente cuadrático negativo, entonces el máximo esta en el único punto crítico es el máximo de la función:
- 0.0375x + 1.5 = 0
0.0375x = 1.5
x = 1.5/0.0375
x = 40
Sustituimos en la ecuación de altura:
y = -0.01875(40)² + 1.5(40)
y = 30 + 60
y = 90
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