Question

Un jóven sube a una colina y observa dos casas cercanas. Calcula que desde su posición hasta la casa de la colina hay 47 metros, y que para llegar a la casa en la base de la colina debe recorrer 38 metros. Entre estas dos rutas se forma un ángulo de 41.5 grados.



¿Qué distancia hay entre las dos casas?


¿Qué ángulos se forman entre las rutas?​

Answer 1

La distancia entre las dos casas es de 31.27 metros

Los ángulos entre las rutas restantes son de A = 53.64° y B = 84.86°

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera

Para resolver este ejercicio vamos a aplicar el teorema del coseno

¿Qué es el Teorema del Coseno?

El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos, es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.

El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.

El teorema del coseno dice:

Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,

Entonces se cumplen las relaciones:

$\large\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(A ) }}$

$\large\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(B ) }}$

$\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(C ) }}$

Se representa la situación en un triángulo ABC: en donde el vértice C representa el punto donde se ubica el joven sobre una colina -avistando dos casas cercanas-, en donde los lados AC (b) y BC (a) equivalen a las distancias respectivas desde su posición hasta cada una de las casas: una ubicada sobre la colina -a 47 metros de su ubicación- y la otra situada en la base de la colina -a 38 metros de su posición-. Donde ambas longitudes o rutas forman un ángulo de 41.5°

Donde se pide determinar:

a) La distancia entre las dos casas

b) Los ángulos que se forman entre las rutas

a) Hallamos la distancia entre las dos casas

La cual está dada por el lado faltante del triángulo el lado AB (c)

Conocemos el valor de dos lados y la dimensión del ángulo comprendido entre ellos, luego empleamos el teorema del coseno para determinar la distancia entre las dos casas

Por el teorema del coseno podemos expresar:

$\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma ) }}$

$\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(C ) }}$

$\large\textsf{Reemplazamos valores }$

$\boxed {\bold { c ^{2} = (38 \ m) ^{2} + ( 47 \ m) ^{2} - 2 \ . \ 38 \ m \ . \ 47\ m \ . \ cos(41.5^o) }}$

$\boxed {\bold { c ^{2} = 1444 \ m ^{2} + 2209 \ m^{2} - 3572 \ m^{2} \ . \ cos(41.5^o) }}$

$\boxed {\bold { c ^{2} = 3653 \ m^{2} - 3572 \ m^{2} \ . \ 0.748955720789 }}$

$\boxed {\bold { c ^{2} = 3653 \ m^{2} -2675.269834658308 \ m^{2} }}$

$\boxed {\bold { c ^{2} = 977.730165341692 \ m^{2} }}$

$\boxed {\bold {\sqrt{ c ^{2} } = \sqrt{ 977.730165341692 \ m^{2} } }}$

$\boxed {\bold {c = \sqrt{ 977.730165341692 \ m^{2} } }}$

$\boxed {\bold { c \approx 31.268677\ m }}$

$\large\boxed {\bold { c \approx 31.27 \ m}}$

La distancia entre las dos casas es de aproximadamente 31.27 metros

Conocidas las magnitudes de los tres lados del triángulo

$\bold{a = 38 \ m }$

$\bold{b = 47 \ m }$

$\bold{c =31.27 \ m }$

b) Determinamos los ángulos que se forman entre las rutas

Calculamos el ángulo A -comprendido desde la casa sobre la colina hasta la posición del joven y hasta la casa en la base de la colina-

Por el teorema del coseno podemos expresar:

$\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(A ) }}$

$\boxed {\bold { b^{2} + c^{2} - a^{2} = 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(A ) }}$

Luego

$\boxed {\bold {cos(A )= \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2} }{2 \ . \ b \ . \ c } }}$

$\large\textsf{Reemplazamos valores }$

$\boxed {\bold {cos(A )= \frac{(47 \ m)^{2} + (31.27 \ m) ^{2} - (38 \ m)^{2} }{2 \ . \ 47\ m \ . \ 31.27 \ m } }}$

$\boxed {\bold {cos(A )= \frac{2209 \ m^{2} + 977.8129 \ m^{2} - 1444\ m^{2} }{2939.38 \ m^{2} } }}$

$\boxed {\bold {cos(A )= \frac{3186.8129 \ m^{2} - 1444 \ m^{2} }{2939.38 \ m^{2} } }}$

$\boxed {\bold {cos(A )= \frac{1742.8129 \not m^{2} }{2939.38 \not m^{2} } }}$

$\boxed {\bold {cos(A )= \frac{ 1742.8129}{2939.38 } }}$

$\boxed {\bold {cos(A )=0.5929185406446 }}$

$\textsf{Aplicamos la inversa del coseno para hallar el \'angulo}$

$\boxed {\bold {A=arccos( 0.5929185406446 ) }}$

$\boxed {\bold {A = 53.6356^o }}$

$\large\boxed {\bold {A =53.64^o }}$

Hallamos el ángulo B –comprendido desde la casa en la base de la colina hasta la ubicación del joven y hasta la casa sobre la colina

Como la sumatoria de los ángulos internos de un triángulo es igual a dos rectos, es decir a 180°

Como ya conocemos dos de los ángulos del triángulo determinamos el valor del tercero

Planteando

$\boxed {\bold {180^o= A +B +C }}$

$\boxed {\bold {180^o= 53.64^o +B +41.5 ^o }}$

$\boxed {\bold {B = 180^o- 53.64^o -41.5 ^o }}$

$\large\boxed {\bold {B = 84.86^o }}$

Se agrega gráfico para comprender las relaciones entre los lados y los ángulos del triángulo planteadas