Question

un jardin rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho esta rodeado por un camino de arena uniforme. Halla la anchura de dicho camino si se sabe que su area es 540 metros cuadrado

Answer 1

La anchura del camino de arena es de 3 metros

Procedimiento:  

Nos dicen que un jardín de forma rectangular está rodeado por un camino de arena uniforme.

Y nos piden hallar el ancho de ese camino conociendo el área de este

En este problema es lo mismo decir que tenemos un área rectangular que está conformada por el jardín, inserta dentro de otra área rectangular que es la que conforma la superficie de arena.

Para hacer una analogía es como tener una imagen -en este caso la imagen sería el jardín rectangular- que está enmarcada por el camino de arena que rodea todo su contorno.

Lo primero que haremos será calcular el área del jardín rectangular

El área de un rectángulo se calcula a partir de los dos lados diferentes (a y b). Es el producto de los dos lados contiguos del rectángulo.

Planteamos        

$\boxed {\bold { \'Area \ del \ Rect\'angulo = Largo \ . \ Ancho}}$

Reemplazamos valores

$\boxed {\bold { \'Area \ del \ Rect\'angulo = 50 \ metros\ . \ 34 \ metros }}$

$\boxed {\bold { \'Area \ del \ Rect\'angulo =1700 \ metros^{2} }}$

El área del jardín rectangular es de 1700 metros cuadrados

Entonces si le sumo al área del jardín rectangular el área que mide el camino de arena obtendremos toda el área del rectángulo que representa al rectángulo de mayor tamaño que sería una hipotética superficie total de arena

Se realiza esta sumatoria para poder plantear la ecuación como lo veremos más adelante

$\boxed {\bold { \'Area \ Total = \'Area \ Jard\'in \ Rectangular + \'Area \ Camino \ Arena }}$

Reemplazamos valores

$\boxed {\bold { \'Area \ Total = 1700 \ metros^{2} + 540 \ metros^{2} }}$

$\boxed {\bold { \'Area \ Total = 2240 \ metros^{2} }}$

Hallando el ancho del camino de arena

Llamaremos variable x a esa medida desconocida

Teniendo en cuenta la fórmula del área del rectángulo

$\boxed {\bold { \'Area \ del \ Rect\'angulo = Largo \ . \ Ancho}}$

Para poder hallar cual es el valor de x tendremos que agregar esa  medida desconocida del camino de arena 2 veces para el largo y 2 veces para el ancho porque no sólo bordea todo el contorno del jardín, sino porque estamos trabajando con superficies rectangulares

Y agregaremos ese aumento tomando como referencia el largo y el ancho del jardín rectangular, ambas longitudes que conocemos

Planteamos

$\boxed {\bold { \'Area \ del \ Rect\'angulo =2x+ Largo \ . \ 2x+Ancho}}$

Donde la variable x será el ancho del camino

¿Y a que valor de área equiparamos la ecuación?

La respuesta es simple. Debemos igualarla a la sumatoria de las dos áreas: la del jardín que hemos hallado y a la del área dada por enunciado del camino de arena.

Es por eso que las hemos sumado previamente. Llamándola "área total"

Ahora estamos en condiciones de plantear una ecuación que satisfaga al problema

Planteamos:

$\boxed {\bold { \'Area \ Total =2x+ Largo \ . \ 2x+Ancho}}$

Reemplazamos

$\boxed {\bold { 2240 =(2x+ 50) \ . \ (2x+34) }}$

Operamos  

$\boxed {\bold { (2x+ 50) \ . \ (2x+34) = 2240 }}$

$\boxed {\bold { 2x (2x)+ 2x \ . \ 34+ 50(2x) + 50 \ . \ 34 = 2240 }}$

$\boxed {\bold { 4x^{2} + 68x + 100x +1700 = 2240 }}$

$\boxed {\bold { 4x^{2} + 168x +1700 - 2240 = 0 }}$

$\boxed {\bold { 4x^{2} + 168x - 540 = 0 }}$

Divido entre 4 para simplificar

$\boxed {\bold { x^{2} + 42x - 135 = 0 }}$

Tenemos una ecuación cuadrática

$\boxed {\bold { x^{2} + 42x - 135 = 0 }}$

En donde  a = 1, b = 42 y c = -135

Emplearemos la fórmula cuadrática para resolver para x

$\boxed { \bold { \frac{-b \pm \sqrt{ b^{2} -4ac } }{ 2a } }}$

$\boxed { \bold { x = \frac{-42 \pm \sqrt{ 42^{2} -4 \ . (1 \ . \ -135) } }{ 2\ . \ 1 } }}$

$\boxed { \bold { x = \frac{-42 \pm \sqrt{ 1764 -4 \ . ( -135) } }{ 2 } }}$

$\boxed { \bold { x = \frac{-42 \pm \sqrt{ 1764 +540 } }{ 2 } }}$

$\boxed { \bold { x = \frac{-42 \pm \sqrt{ 2304 } }{ 2 } }}$

$\boxed { \bold { x = \frac{-42 \pm \sqrt{ 48^{2} } }{ 2 } }}$

$\boxed { \bold { x = \frac{-42 \pm 48 }{ 2 } }}$

$\boxed { \bold { x = -21 \pm 24 }}$

$\boxed { \bold { x_{1} = 3 }}$

$\boxed { \bold { x_{2} = -45 }}$

Descartamos el valor negativo ya que no existen longitudes negativas

$\boxed { \bold { x = 3 \ metros }}$

La anchura del camino de arena es de 3 metros