Un jardín cuadrado se va a cultivar y luego a cerrar con una cerca. si ésta cuesta $1 por pie y el costo de preparar el suelo es de $0.50 por ft2 , determine el tamaño del jardín que pueda encerrarse a un costo de $120.
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
suponiendo que el area a alambrar tiene ambos lados iguales entonces planteamos una ecuacion donde "A" es la medida del lado:
4xA + ½xA² = 120 ;
despejando tenemos:
½xA² + 4xA - 120 = 0
que es una ecuacion cuadratica la cual obtenemos las raices utilizando la formula resolvente que nos da 2 valores posibles A=-20 y A=12; por lo que solo nos interesa la positiva, o sea 12 que es el lado que podra tener de largo la cerca; por lo que el terreno tendrá a44 pies cuadrados que tendran un costo de $72 de preparacion y 48 pies de alambrado a un costo de $48, por lo que el costo total será de $120
El tamaño del jardín que puede encerrarse a un costo de $120 es el correspondiente a un cuadrado de lado igual a 12 pies.
Se tienen dos costos para preparar el jardín, el cual es de forma cuadrada.
- El costo de la cerca, el cual es de $1 por pie. Para este costo, se debe calcular el perímetro del cuadrado, el cual es igual a 4 veces la longitud de uno de sus lados, P = 4L.
- El costo de preparar el suelo, el cual es de $0,50 por cada pie cuadrado. Para este costo se debe calcular el área del cuadrado, el cual es igual al cuadrado de uno de sus lados, A = L².
El costo total resulta:
$1 * 4L + $0,5 * L² = $120
Se puede escribir la ecuación de segundo grado:
0,5 * L² + 4L - 120 = 0
Se puede multiplicar por 2 para más facilidad al resolver.
L² + 8L - 240 = 0
Para determinar las soluciones, se debe aplicar la fórmula para resolver ecuaciones de segundo grado, la cual, para una ecuación de tipo ax² + bx + c = 0, expresa:
x = [-b ± √(b² - 4ac) ] / 2a
Con los valores a = 1; b = 8 y c = -240, se resuelve.
L = [-8 ± √(8² - 4 * 1 * (-240) ) ] / (2 * 1)
L = [-8 ± √(64 + 960) ] / 2
L = [-8 ± √(1024) ] / 2
L = (-8 ± 32) / 2
Se tienen dos soluciones:
L = (-8 + 32) / 2
L = 24/2
L = 12
L = (-8 - 32) / 2
L = -40/2
L = -20
Como se trata de una distancia, se toma el valor positivo.
Por lo tanto, el lado del cuadrado es L = 12 pies.
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