Un ingeniero desea delimitar un terreno rectangular y tiene 450 metros de CERCA disponibles. Encuentra las dimensiones del terreno si el ÁREA delimitada debe ser al menos 3120 m2.
Respuestas a la pregunta
Hagamos,
Dimensiones del terreno
Largo = L
Ancho = A
Traduciendo el enunciado
2L + 2A = 450 (1) Perímetro = medida de la cerca
LxA = 3150 (2) Area = largo x ancho
Hay que resolver el sistema (1) (2)
De (1)
2(L + A) = 450
L + A = 225
A = 225 - L (3)
(3) en (2)
L(225 - L) = 3150
Efectuando
225L - L^2 = 3150
Preparando ecuación cuadrática
L^2 - 225L + 3150 = 0
Factorizando
(L - 15)(L - 210) = 0
L - 15 = 0 L1 = 15
L - 210 = 0 L2 = 210
En (3)
Con L1 = 15
A = 225 - 15
= 210
Con L2= 210
A = 225 - 210
= 15
Dimensiones del terreno
Largo = 210 m
Ancho = 15 m
Respuesta:
Las dimensiones del terreno deben ser al menos 15m x 210m o bien 210mx15m.
Explicación paso a paso:
Sabemos:
- x - Ancho
- y - Largo
- Perímetro del rectángulo P = 2x + 2y
- Área del rectángulo A = xy
La vivienda que tiene 450 m de perímetro:
2x + 2y = 450
Si despejamos y:
2y = 450 - 2x -- Dividimos entre 2
y = 225- x
El área delimitada debe ser al menos 3150 m²:
xy ≥ 3150
Agrupando las ecuaciones y resolviendo por sustitución:
y = 225- x (I)
xy ≥ 3150 (II)
----------------- Sustituimos I en II
x(225-x) ≥ 3150
225x - x² ≥ 3150
-x² + 225x - 3150 ≥ 0 ---- Multiplicamos por -1 e invertimos el signo
x² - 225x + 3150 ≤ 0 ----- Factorizamos:
(x-15)(x-210) ≤ 0
Construimos la tabla para resolver la inecuación:
De la tabla se concluye que: 15 ≤ x ≤ 210
Por tanto, las dimensiones mínimas (para x=15) del terreno deben ser:
y = 225- x
y = 225 -15
y = 210
Las dimensiones del terreno deben ser 15x210 metros o bien 210x15 metros.