Question

Un ingeniero construye un canal cuya sección transversal debe tener forma semielíptica con un ancho en la parte superior de 20 m y la máxima profundidad del canal es de 4 m. De acuerdo con esto. Se desea saber la profundidad a 3 m del centro del canal. El Ingeniero Alex manifiesta que si dicha profundidad es más de 3m, se tendría que cambiar la forma del canal, caso contrario, todo quedaría igual. ¿El canal seguiría siendo de forma semielipitica, en la opinión del Ingeniero?

Answer 1

La profundidad del canal a 3 metros del centro es de 3,82 metros, por lo que el canal debería cambiar su forma.

Explicación paso a paso:

Si el canal tiene forma semielíptica, cualquier punto del fondo del mismo sigue la ecuación:

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

Donde 'a' sería la distancia entre el centro y la orilla en la parte superior (que si el ancho es 20 metros, esta distancia es 10 metros) del canal, 'b' sería la profundidad máxima (siendo estos dos los semiejes de la elipse.). Asimismo, x es la distancia entre el centro y el punto bajo estudio e 'y' es la profundidad en ese punto.

Ahora podemos despejar de esta ecuación la profundidad de un punto x a 3 metros del centro:

$y=\sqrt{b^2(1-\frac{x^2}{a^2})}=\sqrt{4^2(1-\frac{3^2}{10^2})}=3,82m$