Un hotel dispone de 100 habitaciones y 100 camareros. Los camareros tienen la costumbre siguiente, más bien simple: Un primer camarero cierra las puertas de todas las habitaciones. Un segundo abre las puertas de las habitaciones pares. Un tercero cambia de posición todas las puertas que son múltiplos de 3. Un cuarto cambia todas las puertas múltiplos de 4... Así hasta que ha pasado el último camarero. ¿Qué puertas quedarán cerradas al final?
Respuestas a la pregunta
En este ejercicio matemático, quedan cerradas las puertas 1, 4, 9, 16
¿Qué puertas quedarán cerradas al final?
Sólo tenemos que van a quedar cerradas aquellas puertas por donde paso un número impar de camareros, o explicado de otra forma , aquéllas puertas que muestren un número impar de divisores, esto debido a que un paso de un camarero se corresponde con un submúltiplo de la puerta que el camarero abra o tranque.
Esto lo haremos dado un número descompuesto en sus factores primos con la formula:
N = a^a, b^b c^g ... ll
Donde tenemos que el número total de sus divisores (incluyendo 1 y el propio N) es: Div(N) = (a+1)(b+1)(g+1)...(l+1)
Podemos decir que los valor sólo puede ser impar si lo son todos los términos entre paréntesis, o sea si a, b, g,...l son pares, o si N es un cuadrado perfecto.
Entonces podemos decir que estarán cerradas las puertas 1, 4, 9, 16,..
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