Un hombre se encuntra en un edificio observando otro edificio que esta a 300m de distancia. El ángulo de elevación a tope del edificio es de 30° y el ángulo de depresión a la base es de 60° ¿ cuál es la altura del edificio que observa? Desprecia la altura del hombre.
Respuestas a la pregunta
La altura del Edificio B es de 400√3 metros
Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.
Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.
Donde el triángulo dado de 30-60 es un triángulo notable
Dado que una persona desde la parte superior de un edificio observa la parte inferior de otro edificio con un ángulo de depresión de 60° y la parte superior del mismo con un ángulo de elevación de 30°:
Llamando al edificio donde se encuentra el observador "Edificio A" y al otro edificio- "Edificio B"-
Representamos la situación en dos triángulos rectángulos:
El ABD: en donde el lado AB representa la línea visual -que está por debajo de los ojos del observador- a la parte inferior del Edificio B-, con un ángulo de depresión de 60°, el lado DB que es una porción del Edificio B y a la vez coincide con la altura del primer edificio - el Edificio A - en donde se halla el observador, siendo el cateto opuesto al ángulo dado de este triángulo, -de la cual no conocemos su magnitud a la que llamaremos altura “x”-; y por último el lado AD que es la línea horizontal de visión al Edificio B y también la distancia horizontal hasta este, en donde este otro cateto- es en este caso el adyacente-, del cual conocemos su valor
El ACD: en donde el lado AC representa la línea visual - que está por encima de los ojos del observador- a la parte superior del Edificio B-, con un ángulo de elevación de 30°; el lado CD que es el cateto opuesto al ángulo dado en este triángulo y que equivale a la otra porción de la altura del Edificio B -de la cual no conocemos su dimensión y la llamaremos altura "y"-; teniendo finalmente el lado AD el cual es el cateto adyacente al ángulo, y coincide con el cateto adyacente del primer triángulo, siendo la distancia horizontal del Edificio A hasta el Edificio B
Donde se pide hallar la altura "h" del otro edificio al que llamamos B
Halladas las dos alturas “x” e “y” - donde ambas longitudes son los catetos opuestos de cada uno de los triángulos rectángulos-
La sumatoria de los dos catetos opuestos a los ángulos dados de cada uno de los dos triángulos nos dará la altura "h" del Edificio B
Dado que la tangente de un ángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:
Se empleará la razón trigonométrica tangente en cada uno de los dos triángulos rectángulos para determinar las alturas "x" e "y"
En ABD
Hallamos la altura x - altura del Edificio A- que coincide con una porción de la altura del Edificio B-
Por ser ángulo alterno interno- que es homólogo- se traslada el ángulo de depresión de 60° al punto B para facilitar la situación
Por ello se han trazado dos proyecciones horizontales
Relacionamos los datos con la tangente del ángulo α
Como tenemos un ángulo notable
Luego la altura x es de 300√3 metros, siendo la altura del Edificio A -que coincide con una porción de la altura del Edificio B-
En ACD
Hallamos la altura y - segunda porción de la altura del Edificio B -
Relacionamos los datos con la tangente del ángulo β
Como tenemos un ángulo notable
Por tanto la altura y es de 100√3 metros, siendo la otra parte de la altura del Edificio B
Hallamos la altura h del Edificio B
La altura del Edificio B es de 400√3 metros
Se agrega gráfico a escala para mejor comprensión del ejercicio propuesto