Question

Un hombre se encuntra en un edificio observando otro edificio que esta a 300m de distancia. El ángulo de elevación a tope del edificio es de 30° y el ángulo de depresión a la base es de 60° ¿ cuál es la altura del edificio que observa? Desprecia la altura del hombre.

Answer 1

La altura del Edificio B es de 400√3 metros

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.  

Donde el triángulo dado de 30-60 es un triángulo notable

Dado que una persona desde la parte superior de un edificio observa la parte inferior de otro edificio con un ángulo de depresión de 60° y la parte superior del mismo con un ángulo de elevación de 30°:

Llamando al edificio donde se encuentra el observador "Edificio A" y al otro edificio- "Edificio B"-

Representamos la situación en dos triángulos rectángulos:

El ABD: en donde el lado AB representa la línea visual -que está por debajo de los ojos del observador- a la parte inferior del Edificio B-, con un ángulo de depresión de 60°, el lado DB que es una porción del Edificio B y a la vez coincide con la altura del primer edificio - el Edificio A - en donde se halla el observador, siendo el cateto opuesto al ángulo dado de este triángulo, -de la cual no conocemos su magnitud a la que llamaremos altura “x”-;  y por último el lado AD que es la línea horizontal de visión al Edificio B y también la distancia horizontal hasta este, en donde este otro cateto- es en este caso el adyacente-, del cual conocemos su valor

El ACD: en donde el lado AC representa la línea visual - que está por encima de los ojos del observador- a la parte superior del Edificio B-, con un ángulo de elevación de 30°; el lado CD que es el cateto opuesto al ángulo dado en este triángulo y que equivale a la otra porción de la altura del Edificio B -de la cual no conocemos su dimensión y la llamaremos altura "y"-;  teniendo finalmente el lado AD el cual es el cateto adyacente al ángulo, y coincide con el cateto adyacente del primer triángulo, siendo la distancia horizontal del Edificio A hasta el Edificio B

Donde se pide hallar la altura "h" del otro edificio al que llamamos B

Halladas las dos alturas “x” e “y” - donde ambas longitudes son los catetos opuestos de cada uno de los triángulos rectángulos-

La sumatoria de los dos catetos opuestos a los ángulos dados de cada uno de los dos triángulos nos dará la altura "h" del Edificio B

Dado que la tangente de un ángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:

Se empleará la razón trigonométrica tangente en cada uno de los dos triángulos rectángulos para determinar las alturas "x" e "y"

En ABD

Hallamos la altura x - altura del Edificio A- que coincide con una porción de la altura del Edificio B-

Por ser ángulo alterno interno- que es homólogo- se traslada el ángulo de depresión de 60° al punto B para facilitar la situación

Por ello se han trazado dos proyecciones horizontales

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo α  $\bold{\alpha = 60^o }$

$\boxed{\bold { tan(60^o) = \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(60^o)= \frac{ altura \ x }{ distancia\ edificios } } }$

$\boxed{\bold { altura\ x = distancia \ edificios\ . \ tan(60^o) } }$

Como tenemos un ángulo notable

$\large \textsf{El valor exacto de tan de 60 grados es } \bold {\sqrt{3} }$

$\boxed{\bold { altura\ x =300 \ m\ . \ \sqrt{3} } }$

$\large\boxed{\bold { altura\ x = 300\sqrt{3} \ metros } }$

Luego la altura x es de 300√3 metros, siendo la altura del Edificio A -que coincide con una porción de la altura del Edificio B-

En ACD

Hallamos la altura y - segunda porción de la altura del Edificio B -

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo β $\bold{\beta = 30^o }$

$\boxed{\bold { tan(30^o) = \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(30^o) = \frac{ altura \ y }{distancia \ edificios } } }$

$\boxed{\bold { altura\ y =distancia \ edificios \ . \ tan(30^o) } }$

Como tenemos un ángulo notable

$\large \textsf{El valor exacto de tan de 30 grados es } \bold {\frac{ \sqrt{3} } {3 } }$

$\boxed{\bold { altura\ y =distancia \ edificios\ . \ \frac{\sqrt{3} }{3} } }$

$\boxed{\bold { altura\ y =300\ m\ . \ \frac{\sqrt{3} }{3} } }$

$\boxed{\bold { altura\ y =100\ . \not 3 . \ \frac{\sqrt{3} }{\not3} \ m\ } }$

$\large\boxed{\bold { altura\ y = 100\sqrt{3} \ metros } }$

Por tanto la altura y es de 100√3 metros, siendo la otra parte de la altura del Edificio B

Hallamos la altura h del Edificio B

$\boxed{\bold { Altura \ Edificio \ B \ (h) = altura \ x\ +\ altura \ y } }$

$\boxed{\bold { Altura \ Edificio \ B \ (h)= 300\sqrt{3} \ m +\ 100\sqrt{3} \ m } }$

$\large\boxed{\bold { Altura \ Edificio \ B \ (h) =400\sqrt{3} \ metros } }$

$\textsf{Expresado en forma decimal }$

$\boxed{\bold { Altura \ Edificio \ B \ (h) =692.82 \ metros } }$

La altura del Edificio B es de 400√3 metros

Se agrega gráfico a escala para mejor comprensión del ejercicio propuesto