Matemáticas, pregunta formulada por giovabarillas28, hace 11 meses

Un hombre se encuntra en un edificio observando otro edificio que esta a 300m de distancia. El ángulo de elevación a tope del edificio es de 30° y el ángulo de depresión a la base es de 60° ¿ cuál es la altura del edificio que observa? Desprecia la altura del hombre.

Respuestas a la pregunta

Contestado por arkyta
3

La altura del Edificio B es de 400√3 metros

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.  

Donde el triángulo dado de 30-60 es un triángulo notable

Dado que una persona desde la parte superior de un edificio observa la parte inferior de otro edificio con un ángulo de depresión de 60° y la parte superior del mismo con un ángulo de elevación de 30°:

Llamando al edificio donde se encuentra el observador "Edificio A" y al otro edificio- "Edificio B"-

Representamos la situación en dos triángulos rectángulos:

El ABD: en donde el lado AB representa la línea visual -que está por debajo de los ojos del observador- a la parte inferior del Edificio B-, con un ángulo de depresión de 60°, el lado DB que es una porción del Edificio B y a la vez coincide con la altura del primer edificio - el Edificio A - en donde se halla el observador, siendo el cateto opuesto al ángulo dado de este triángulo, -de la cual no conocemos su magnitud a la que llamaremos altura “x”-;  y por último el lado AD que es la línea horizontal de visión al Edificio B y también la distancia horizontal hasta este, en donde este otro cateto- es en este caso el adyacente-, del cual conocemos su valor

El ACD: en donde el lado AC representa la línea visual - que está por encima de los ojos del observador- a la parte superior del Edificio B-, con un ángulo de elevación de 30°; el lado CD que es el cateto opuesto al ángulo dado en este triángulo y que equivale a la otra porción de la altura del Edificio B -de la cual no conocemos su dimensión y la llamaremos altura "y"-;  teniendo finalmente el lado AD el cual es el cateto adyacente al ángulo, y coincide con el cateto adyacente del primer triángulo, siendo la distancia horizontal del Edificio A hasta el Edificio B

Donde se pide hallar la altura "h" del otro edificio al que llamamos B

Halladas las dos alturas “x” e “y” - donde ambas longitudes son los catetos opuestos de cada uno de los triángulos rectángulos-

La sumatoria de los dos catetos opuestos a los ángulos dados de cada uno de los dos triángulos nos dará la altura "h" del Edificio B

Dado que la tangente de un ángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:

Se empleará la razón trigonométrica tangente en cada uno de los dos triángulos rectángulos para determinar las alturas "x" e "y"

En ABD

Hallamos la altura x - altura del Edificio A- que coincide con una porción de la altura del Edificio B-

Por ser ángulo alterno interno- que es homólogo- se traslada el ángulo de depresión de 60° al punto B para facilitar la situación

Por ello se han trazado dos proyecciones horizontales

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo α  \bold{\alpha = 60^o }

\boxed{\bold  { tan(60^o) =  \frac{ cateto\  opuesto     }{ cateto\  adyacente  }    }      }

\boxed{\bold  { tan(60^o)=  \frac{ altura  \  x      }{  distancia\  edificios }    }      }

\boxed{\bold  { altura\  x = distancia \ edificios\ . \    tan(60^o)   }      }

Como tenemos un ángulo notable

\large \textsf{El valor exacto de tan de 60 grados es } \bold  {\sqrt{3}       }

\boxed{\bold  { altura\  x =300 \  m\ . \    \sqrt{3}    }      }

\large\boxed{\bold  { altura\  x =  300\sqrt{3}   \  metros   }     }

Luego la altura x es de 300√3 metros, siendo la altura del Edificio A -que coincide con una porción de la altura del Edificio B-

En ACD

Hallamos la altura y - segunda porción de la altura del Edificio B -

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo β \bold{\beta = 30^o }

\boxed{\bold  { tan(30^o) =  \frac{ cateto\  opuesto     }{ cateto\  adyacente  }    }      }

\boxed{\bold  { tan(30^o) =  \frac{    altura \  y    }{distancia  \  edificios }    }  }

\boxed{\bold  { altura\  y =distancia \  edificios \ . \    tan(30^o)   }      }

Como tenemos un ángulo notable

\large \textsf{El valor exacto de tan de 30 grados es } \bold  {\frac{  \sqrt{3}    }    {3      }   }

\boxed{\bold  { altura\  y =distancia \ edificios\ . \   \frac{\sqrt{3} }{3}    }      }

\boxed{\bold  { altura\  y =300\  m\ . \   \frac{\sqrt{3} }{3}    }      }

\boxed{\bold  { altura\  y =100\ . \not 3 . \   \frac{\sqrt{3} }{\not3}  \  m\  }      }

\large\boxed{\bold  { altura\  y =  100\sqrt{3}   \  metros   }     }

Por tanto la altura y es de 100√3 metros, siendo la otra parte de la altura del Edificio B

Hallamos la altura h del Edificio B

\boxed{\bold  { Altura \ Edificio \ B \ (h) = altura \ x\ +\  altura \  y           }  }

\boxed{\bold  {  Altura \ Edificio \ B \ (h)= 300\sqrt{3}  \ m +\ 100\sqrt{3}  \  m           }  }

\large\boxed{\bold  { Altura \ Edificio \ B \ (h) =400\sqrt{3} \ metros        }  }

\textsf{Expresado en forma decimal }

\boxed{\bold  { Altura \ Edificio \ B \ (h) =692.82 \ metros        }  }

La altura del Edificio B es de 400√3 metros

Se agrega gráfico a escala para mejor comprensión del ejercicio propuesto

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