Question

Un hombre ahorra cada año los 2/3 del año anterior, ahorro el quinto año Q16,000. ¿Cuanto ha ahorrado en los 5 años? Necesito ayuda Bros. XD​

Answer 1

Tratamos con una progresión geométrica (PG) la cual reconocemos porque cada término se calcula multiplicando el término anterior por un número invariable que llamamos razón "r" de la progresión.

La razón de esta progresión es:

r = 2/3

Siendo una fracción propia (cociente menor que cero),  al ir multiplicando cada término por el anterior lo que ocurre es que el valor de los términos va disminuyendo. Por ello diremos que se trata de una progresión geométrica decreciente.

Y nos dice lo que ahorró el 5º año así que sabemos el valor del 5º término:

a₅ = 16000

Y también sabemos el nº de términos:

n = 5

Necesitamos saber el valor del primer término  a₁  para luego aplicar la fórmula de suma de términos.

Así que empezamos por usar la fórmula general para este tipo de progresiones y que dice:

aₙ = a₁ × rⁿ⁻¹

Como conocemos el 5º término, lo usamos así:

$a_n=a_5=16000= a_1\times \left(\dfrac{2}{3}\right) ^{5-1} \\ \\ 16000= a_1\times \dfrac{2^4}{3^4}\\ \\ 16000\times3^4=a_1\times2^4\\ \\ 1296000=16\ a_1\\ \\ a_1=\dfrac{1296000}{16} =81.000$

Y conocido el primer término ya podemos aplicar la fórmula de suma de términos de una PG:

$S_n=a_1\times \dfrac{r^n\ -1}{r-1} \\ \\ \\ S_5=81000\times \dfrac{(2/3)^5\ -1}{(2/3)-1} \\ \\ \\ S_5=81000\times \dfrac{-(211/243)}{-(1/3)} \\ \\ \\ S_5=81000\times \dfrac{633}{243}\ ...\ simplifico\ la\ fracci\'on\ ... \\ \\ \\ S_5=81000\times \dfrac{211}{81} \\ \\ \\ S_5=1000\times211\\ \\ \\ S_5=211000$

En los 5 años ahorró  211.000