Question

Un hombre ahorra cada año los 2/3 de lo que ahorró el año anterior, si el 5 año ahorro $160. ¿Cuanto ha ahorrado en los 5 años?

Answer 1

Es una progresión geométrica (PG) y del texto se desprenden los siguientes datos:

→ Nº de términos de la PG... n = 5  (porque habla del 5º año)
→ 5º término de la PG... a₅ = 160  (lo que ahorró el 5º año)
→ Razón de la PG ... r = 2/3  (es el nº por el que se multiplica cada término para hallar el siguiente)

Acudiendo a la fórmula del término general de las PG... $a_n=a_1* r^{n-1}$

Para saber lo que ahorró durante los 5 años necesito saber el primer término y luego aplicar la fórmula de la suma de términos. Por tanto, despejo a₁ de esa fórmula, sustituyo datos y resuelvo:

$a_1= \frac{a_n}{ r^{n-1} } \\ \\ a_1= \frac{160}{(2/3)^{5-1} } = \frac{160}{ \frac{2^4}{3^4} } = \frac{160*81}{16} =10*81=810$

La fórmula de la suma dice:

$S_n= \frac{a_n*r\ - \ a_1}{r-1} \\ \\ S_5= \frac{160*(2/3)\ - \ 810}{(2/3)-1} = \frac{(320/3)-810}{-1/3} = \frac{(-2430/3)}{-1/3} = \frac{-810}{-1/3} = \\ \\ =810*3=2430$

La respuesta es $2.430 

Saludos.