Question

Un helicóptero permanece en posición fija a una altitud de 1,000 pies sobre el pico de una montaña de 5210 pies, como se aprecia en la figura; un segundo pico más alto se ve desde la cima de la montaña y el helicóptero. Desde este último, el ángulo de depresión es de 43°, y desde la cima de la montaña el ángulo de elevación es de a = 24°. (Redondee sus respuestas al pie más cercano.) Me ayudan porfa?


(b) Aproxime la altitud del pico más alto.

Answer 1

Respuesta:

Altura del pico más alto: 5498.42 pies

Explicación paso a paso:

Guíate en el paso a paso con las 4 figuras adjuntas:

Figura 1:  Para responder lo que el ejercicio pregunta necesitamos conocer la distancia DB, que es la misma distancia paralela CE; es decir, la diferencia que hay entre la cima de la montaña más alta y la cima de la montaña más baja.

Construimos el triángulo ABC y trazamos su altura que es la distancia CD y su igual paralela EB. Con esa construcción hemos formado los triángulos rectángulos ADC y BDC. El ángulo ACD, en vértice C, mide los mismos 43° que el ángulo de depresión, puesto que son alternos internos; por tanto, el ángulo con vértice en A (<DAC) medirá 47° por propiedad de suma de ángulos internos.

La base AB del triángulo ABC, mide 1000 según dato del ejercicio. Esa base está dividida por la altura en dos segmentos: Uno, DB que mide X; y otro, AD que mide 1000-x.  En el triángulo BDC, el < en vértice C, es decir < BCD mide 24° por ser alterno interno con el ángulo de elevación dado por el ejercicio. Por tanto, el ángulo en vértice B, < DBC, medirá 66° por propiedad de suma de ángulos internos.

Vamos a averiguar las medidas de los lados AC y CB del triángulo ABC, para luego calcular la medida de x, que es el dato que necesitamos para saber la altura que pregunta el ejercicio

Figura 2. En el triángulo ABC, denotamos con “a” minúscula amarilla el lado opuesto al ángulo A de 47°; denotamos con “b” el lado opuesto al ángulo B de 66° y, denotamos con “c” el lado AB, opuesto al ángulo C de 67° (43+24)

Aplicamos la ley de Senos para encontrar el lado “a”

$\frac{senA}{a}=\frac{senC}{c}$ ; reemplazamos: $\frac{sen47}{a}=\frac{sen67}{1000}$ ; despejamos:

$a=\frac{1000*sen47}{sen67}=794.51$

Ahora, encontremos la medida del lado “b”

$\frac{senB}{b}=\frac{senA}{a}$ ; reemplazamos: $\frac{sen66}{b}=\frac{sen47}{794.51}$ ; despejamos:

$b=\frac{794.51*sen66}{sen47}=992.43$

Figura 3: Ahora para encontrar x, trabajemos con los triángulos rectángulos ADC y BDC que comparten la altura “h”, o sea CD. En ambos triángulos, aplicamos el teorema de Pitágoras:

794.51² = h²+x² ; de donde:  h²=794.51²-x²

992.43²= h² +(1000-x)² ; de donde h² = 992.43² - (1000-x)²

Tenemos dos cantidades iguales a h²; por tanto, las podemos igualar entre sí, operamos y despejamos x:

794.51²-x²=992.43²-(1000-x)².  Operamos y desarrollamos el binomio al cuadrado:

561765.24-x²=984917.30-(1000000-2*1000*x+x²)

561765.24-x²=984917.30-1000000+2000x-x²

561765.24=984917.30-1000000+2000x

561765.24-984917.30+1000000=2000x

576847.94=2000x

X=576847.94/2000

X=288.42  Esta es la diferencia entre las cimas de los picos.

Figura 4: Altura del pico más bajo: 5210 pies.

Diferencia entre la altura del pico más alto y el pico más bajo: 288.42 p

Altura del pico más alto: 5210+288.42= 5498.42 pies