Question

un guardabosques ve fuego con un Angulo de depresión de 37° mientras vigila desde una torre que mide 9 m. de altura ¿A que distancia de la torre está e fuego?​

Answer 1

La distancia desde la base de la torre de vigilancia hasta el fuego es de 12 metros  

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Con la salvedad que el triángulo dado resulta ser lo que se llama un triángulo notable.      

¿Qué son los triángulos notables?

Los triángulos notables son aquellos determinados triángulos rectángulos que se distinguen de otros debido a que poseen determinadas características establecidas.

Los triángulos notables tienen en sus vértices ángulos interiores notables siendo posible establecer una relación entre tales ángulos y las dimensiones de sus lados.

Por tanto en esta clase de triángulos al poseer en sus ángulos ciertas dimensiones determinadas y pudiendo relacionar los ángulos notables con los lados del triángulo (y viceversa) se puede definir una constante de proporcionalidad

Donde las relaciones entre los lados y los ángulos permanecen constantes

Llamamos a esa proporción entre los lados con la letra "k", para indicar dicha proporcionalidad entre sus lados. Que como se mencionó es una constante.

Luego hallado el valor de "k" nos permitirá determinar los lados de un triángulo notable con facilidad

Existen varios triángulos notables muy usados y conocidos y sumamente empleados en la resolución de problemas matemáticos, geométricos y sus relacionados. Pero no es la intención de hablar aquí de ellos.

Sólo mencionaremos el que se relaciona con el problema propuesto.

• El cual dentro de los triángulos notables es el llamado 37-53 (por sus ángulos) o 3-4-5 (por sus lados).

• Este triángulo tiene un ángulo de 37° y otro de 53°, donde el lado opuesto al ángulo de 37° medirá 3k y el lado opuesto al ángulo de 53° medirá 4k y la hipotenusa medirá 5k. Donde k es siempre una constante.

Solución

Representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC el cual está conformado por el lado BC (a) que equivale a la altura de la torre donde se encuentra el guardabosques, el lado AC (b) que representa la distancia desde la base de la torre donde vigila el guardabosques hasta el fuego y el lado AB (c) equivale a la línea visual desde el observador en lo alto de la torre hasta el fuego con un ángulo de depresión de 37°

Donde se pide hallar a que distancia de la base de la torre se halla el fuego

Por ser ángulos alternos internos- que son homólogos- se traslada el ángulo de 37° al  punto A para facilitar la situación

Por ello se ha trazado una proyección horizontal

Esto se puede observar en el gráfico adjunto

Método 1

Razones trigonométricas con ángulos notables

Conocemos

• Altura de la torre de vigilancia = 9 metros

• Ángulo de depresión = 37°

• Debemos hallar a que distancia se la torre de vigilancia se encuentra el fuego

Como conocemos el cateto opuesto (altura de la torre de vigilancia) al ángulo dado y buscamos el valor del cateto adyacente (distancia desde la base de la torre hasta el fuego), relacionamos estos datos con la tangente del ángulo α

Como tenemos un triángulo notable

$\large\boxed{\bold { tan(37^o) = \frac{3}{4} }}$

$\boxed{\bold { tan(37^o)= \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente }} }$

$\boxed{\bold { tan(37^o) = \frac{ altura \ torre \ vigilancia }{distancia \ torre\ al \ fuego } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ torre\ al \ fuego= \frac{ altura \ torre \ vigilancia }{ tan(37^o)} } }$

$\boxed{\bold { distancia \ torre\ al \ fuego = \frac{ 9 \ m }{ tan(37^o) } } }$

Si

$\boxed{\bold { tan(37^o) = \frac{3}{4} }}$

$\boxed{\bold { distancia \ torre\ al \ fuego= \frac{ 9 \ m }{ \frac{3}{4} } } }$

$\boxed{\bold {distancia \ torre\ al \ fuego = 9 \ m \ .\ \frac{4}{3} } }$

$\boxed{\bold { distancia \ torre\ al \ fuego= \ \frac{36 }{3} \ m} }$

$\large\boxed{\bold { distancia \ torre\ al \ fuego =12 \ metros } }$

Método 2

Hallando el valor de la constante k

La altura de la torre de vigilancia es de 9 metros

Y es el lado opuesto al ángulo de 37° por lo tanto mide 3k

Planteamos

$\boxed{\bold { altura \ torre \ vigilancia =9 \ m= 3k }}$

Despejamos a la constante k

$\boxed{\bold {3 k = 9 \ m }}$

$\boxed{\bold { k = \frac{9 \ m }{3 } }}$

$\boxed{\bold { k = 3 }}$

El valor de la constante k es de 3

La distancia desde la base de la torre de vigilancia hasta el fuego es el lado adyacente del ángulo notable de 37°

Por tanto medirá 4k

Planteamos

$\boxed{\bold { distancia \ torre\ al \ fuego = 4k }}$

Reemplazamos el valor de la constante k

$\boxed{\bold { distancia \ torre\ al \ fuego = 4 \ . \ 3 }}$

Obteniendo

$\large\boxed{\bold { distancia \ torre\ al \ fuego = 12 \ metros } }$

Donde se arriba al mismo resultado