Question

Un grupo de empresarios organizó una fiesta donde asistieron 133 invitados. El ingreso total de dinero reunido por los organizadores fue de $5845. Si la cooperación individual fue de $30 y si se llevaba a un acompañante, la cooperación sería de $65, ¿cuántos de ellos fueron acompañados?​

Answer 1

Asistieron a la fiesta 80 invitados sin acompañante y 53 invitados fueron acompañados

Establecemos las ecuaciones que modelan la situación del problema

Llamamos variable "x" al número de invitados sin acompañante y variable "y" a la cantidad de invitados con acompañante asistentes a la fiesta

Donde sabemos que

El total de invitados que asistieron a la fiesta fue de 133

Donde el ingreso total de dinero reunido por los organizadores de la fiesta fue de $ 5845

Pagando los invitados sin acompañante por la cooperación individual a la fiesta $ 30

Pagando los invitados con acompañante por la cooperación a la fiesta $ 65

Estamos en condiciones de plantear un sistema de ecuaciones que satisfaga al problema

El sistema de ecuaciones:

Sumamos el número de invitados sin acompañante asistentes a la fiesta y la cantidad de invitados con acompañante que concurrieron a la fiesta para la primera ecuación y la igualamos a la cantidad de personas presentes en la fiesta

$\large\boxed {\bold {x \ +\ y =133 }}$                 $\large\textsf{Ecuaci\'on 1}$

Luego por las cooperaciones individuales los invitados sin acompañante pagaron $ 30 y la cooperación para invitados con acompañante se vendieron a $ 65 planteamos la segunda ecuación, y la igualamos al ingreso total de dinero reunido por los organizadores de la fiesta

$\large\boxed {\bold{ 30x \ + \ 65y = 5845 }}$     $\large\textsf{Ecuaci\'on 2}$

Luego

Despejamos x en la primera ecuación

En

$\large\textsf{Ecuaci\'on 1}$

$\large\boxed {\bold {x \ +\ y =133 }}$

Despejamos x

$\large\boxed {\bold {x =133 -y }}$                 $\large\textsf{Ecuaci\'on 3}$

Resolvemos el sistema de ecuaciones

Reemplazando

$\large\textsf{Ecuaci\'on 3}$

$\large\boxed {\bold {x =133 -y }}$

$\large\textsf {En Ecuaci\'on 2}$

$\large\boxed {\bold{ 30x \ + \ 65y = 5845 }}$

$\boxed {\bold { 30\ (133 -y) \ + \ 65y = 5845 }}$

$\boxed {\bold { 3990\ - 30y\ + 65y = 5845 }}$

$\boxed {\bold { 3990\ + 35y = 5845 }}$

$\boxed {\bold {35y\ + \ 3990 = 5845 }}$

$\boxed {\bold {35y = 5845 -3990 }}$

$\boxed {\bold {35y = 1855 }}$

$\boxed {\bold { y = \frac{1855}{35} }}$

$\large\boxed {\bold { y =53 }}$

Por lo tanto la cantidad de invitados con acompañante que concurrieron a la fiesta fue de 53

Hallamos el número de invitados sin acompañante que asistieron a la fiesta

Reemplazando el valor hallado de y en

$\large\textsf{Ecuaci\'on 3}$

$\large\boxed {\bold {x =133 -y }}$

$\boxed {\bold {x =133-53}}$

$\large\boxed {\bold {x =80 }}$

Luego la cantidad de invitados sin acompañante que asistieron a la fiesta fue de 80

Verificación

Reemplazamos los valores hallados para x e y en el sistema de ecuaciones

$\large\textsf{Ecuaci\'on 1}$

$\boxed {\bold {x \ +\ y =133}}$

$\bold { 80\ +\ 53= 133 \ invitados }$

$\boxed {\bold {133\ invitados =133\ invitados}}$

$\textsf{Se cumple la igualdad }$

$\large\textsf{Ecuaci\'on 2}$

$\boxed {\bold {30x \ + \ 65y = 5845 }}$

$\bold {\ \ 30 \ . \ 80\ \ +\ \ \ 65 \ . \ 53\ = \ \ 5845 }$

$\bold {\ \ 2400 \ + \ \ \ 3445 = \ \ 5845}$

$\boxed {\bold {\ \ 5845= \ \ 5845 }}$

$\textsf{Se cumple la igualdad }$