Un grupo de científicos introdujo peces dentro de un lago para estudiar el comportamiento de esta población. En un principio, la colonia crece reproduciéndose normalmente, pero al cabo de un tiempo algunos peces mueren debido al hacinamiento. Un científico indica cómo evoluciona el conjunto de peces, obteniendo la población de peces a los t dias de iniciado el estudio, según la siguiente función: N(t)=- 2t2+156t+1
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Inicialmente se introdujeron en el lago 240 peces, de acuerdo con el modelo cuadrático proporcionado y su evaluación en el tiempo cero o punto de partida de la cronología.
Explicación paso a paso:
Con el modelo cuadrático suministrado vamos a responder las interrogantes formuladas:
A. ¿Cuantos peces introdujeron en el lago?
El momento de la introducción de los peces en el lago es el punto de partida de la cronología, es decir, es el tiempo cero.
n(0) = 240 + 10(0) - 0.1(0)² = 240
Inicialmente se introdujeron en el lago 240 peces.
B. ¿Durante cuanto tiempo la cantidad de peces fue aumentando?
Vamos a aplicar los criterios de primera derivada para intervalos de crecimiento y puntos extremos.
n' = 10 - 0.2x
El valor de x que anula n' es x = 50
Hasta x = 50 la función es creciente y de allí en adelante decrece; por tanto,
La cantidad de peces en el lago creció en los primeros 50 días.
C. ¿Cual fue la cantidad máxima que llego a haber?¿En que momento?
La cantidad máxima es el valor de n que corresponde al valor crítico de x donde la función cambia de creciente a decreciente, o sea, x = 50.
n(50) = 240 + 10(50) - 0.1(50)² = 490
A los 50 días de la introducción de los peces al lago se tuvo la mayor cantidad de población, 490 peces.
D. ¿Cuando se extinguirá la población?
Factorizamos para hallarlos valores de x en que la función es nula
240 + 10x - 0.1x² = 0 ⇒ x² - 100x - 2400 = 0 ⇒
(x - 120)(x + 20) = 0 ⇒ x = 120 (x = -20 no puede ser)
La población se extinguirá a los 120 días, de continuar la tendencia actual.
E) Definir dominio e imagen de la función n(x)
La función cuadrática n(x) = 240 + 10x - 0.1x² tiene
Dominio: x ∈ R
Imagen: n ∈ (-∞ ; 490]
Ahora si recordamos que n es número de peces y que x es tiempo transcurrido en días, entonces se restringe la definición a los intervalos en que estas variables son positivas o nulas:
Dominio: x ∈ [0 ; 120]
Imagen: n ∈ [0 ; 490]
Tarea relacionada:
Modelo cuadrático
Explicación paso a paso:
