Question

Un granjero tiene algunas vacas y gallinas. Los animales tienen un total de 40 cabeza 112 patas. ¿Cuántas vacas hay?​

Answer 1

El granjero tiene 16 vacas y 24 gallinas

Establecemos las ecuaciones que modelan la situación del problema

Llamamos variable "x" a la cantidad de vacas y variable "y" a la cantidad de gallinas

Donde sabemos que

El total de cabezas que tiene el granjero es de 40

Donde el total de patas es de 112

Teniendo una vaca 4 patas

Teniendo una gallina 2 patas

Estamos en condiciones de plantear un sistema de ecuaciones que satisfaga al problema

El sistema de ecuaciones:

Sumamos la cantidad de vacas y de gallinas para establecer la primera ecuación y la igualamos a la cantidad de cabezas que tiene en total el granjero

$\large\boxed {\bold {x \ +\ y = 40 }}$                           $\large\textsf{Ecuaci\'on 1}$

Luego como una vaca tiene 4 patas y una gallina tiene 2 patas planteamos la segunda ecuación, y la igualamos a la cantidad de patas que hay en total en la granja

$\large\boxed {\bold {4x \ + \ 2y = 112 }}$                   $\large\textsf{Ecuaci\'on 2}$

Luego

Despejamos y en la primera ecuación

En

$\large\textsf{Ecuaci\'on 1}$

$\large\boxed {\bold {x \ +\ y = 40 }}$

Despejamos y

$\large\boxed {\bold {y =40 -x }}$                           $\large\textsf{Ecuaci\'on 3}$

Resolvemos el sistema de ecuaciones

Reemplazando

$\large\textsf{Ecuaci\'on 3}$

$\large\boxed {\bold {y =40 -x }}$

$\large\textsf {En Ecuaci\'on 2}$

$\large\boxed {\bold {4x \ + \ 2y = 112 }}$

$\boxed {\bold {4x \ + \ 2\ (40-x) = 112 }}$

$\boxed {\bold {4x \ +\ 80\ -\ 2x = 112 }}$

$\boxed {\bold {4x -\ 2x\ +80 = 112 }}$

$\boxed {\bold {2x \ + \ 80 = 112 }}$

$\boxed {\bold {2x = 112 -80 }}$

$\boxed {\bold { 2x = 32 }}$

$\boxed {\bold { x = \frac{32}{2} }}$

$\large\boxed {\bold { x = 16 }}$

Luego el granjero tiene 16 vacas

Hallamos la cantidad de gallinas

Reemplazando el valor hallado de x en

$\large\textsf{Ecuaci\'on 3}$

$\large\boxed {\bold {y =40 -x }}$

$\boxed {\bold {y =40 -16 }}$

$\large\boxed {\bold {y =24 }}$

Por lo tanto el granjero tiene 24 gallinas

Verificación

Reemplazamos los valores hallados para x e y en el sistema de ecuaciones

$\large\textsf{Ecuaci\'on 1}$

$\boxed {\bold {x \ +\ y = 40}}$

$\bold {16 \ vacas \ +\ 24 \ gallinas = 40 \ cabezas }$

$\boxed {\bold {40 \ cabezas = 40 \ cabezas }}$

$\textsf{Se cumple la igualdad }$

$\large\textsf{Ecuaci\'on 2}$

$\boxed {\bold {4x \ + \ 2y = 112 }}$

$\bold { 4 \ patas \ . \ 16 \ vacas \ +\ 2 \ patas \ . \ 24 \ gallinas \ = 112 \ patas}$

$\bold {64 \ patas \ + \ 48 \ patas =112 \ patas }$

$\boxed {\bold {112 \ patas = 112 \ patas }}$

$\textsf{Se cumple la igualdad }$