Un granjero tiene 80 pies de malla de alambre con el cual decide hacer tres corrales idénticos, como se muestra en la figura (el lado a lo largo del granero no necesita valla). ¿Qué dimensiones del área total encerrada hacen el área de los corrales tan grande como sea posible?
Respuestas a la pregunta
Las dimensiones del área total encerrada para que el área de los corrales sea lo más grande posible son:
- 10 pies ancho
- 40/3 pies largo
¿Cuál es el área y perímetro de un rectángulo?
Un rectángulo es un polígono de cuatro lados, con la característica que sus lados opuestos son iguales.
- El área de un rectángulo es el producto de sus dimensiones o lados.
A = largo × ancho
- El perímetro de un rectángulo es la suma de todos sus lados.
P = 2 largo + 2 ancho
¿Cómo obtener máximos y mínimos?
Aplicando derivadas sucesivas. La primera derivada permite hallar un punto crítico y la segunda derivada determina si se trata de un máximo o mínimo.
Criterio de la segunda derivada:
- Si la segunda derivada es positiva, se está hablando de un mínimo relativo.
- Si la segunda derivada es negativa se está hablando de un máximo relativo.
¿Qué dimensiones del área total encerrada hacen el área de los corrales tan grande como sea posible?
Definir:
- x: ancho
- y: largo
Siendo el perímetro de los corrales:
P = 4x + 3y
P = 80 pies
Sustituir;
80 = 4x +3y
Despejar x;
4x = 80 - 6y
x = 20 - 3y/4
Sustituir en A;
A = (3y)(20-3y/4)
A = 60y - 9y²/4
Aplicar primera derivada;
A' = d/dy (60y - 9y²/4)
A' = 60 - 9y
Aplicar segunda derivada;
A'' = d/dy (60- 9y/2)
A'' = -9/2
Igualar a cero A':
60 - 9y/2 = 0
9y = 60
y = 60(2/9)
y = 40/3 pies
Sustituir;
x = 20 - (3/4)(40/3)
x = 20 - 10
x = 10 pies
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#SPJ2
