Question

Un granjero tiene 150m de malla para cercar un terreno rectangular, ¿cuánto debe medir el largo y el ancho del terreno para que su área sea la máxima?
Ayuda por favor. :(

Answer 1

Anticipo la respuesta. Entre los cuadriláteros de perímetro conocido el de mayor área es el cuadrado.

Demostración.

Sean x e y la base y la altura del rectángulo.

Entonces: S = x y

Se sabe que: P = 2 (x + y) = 150 m; luego y = 75 - x; reemplazamos en S

S = x (75 - x) = 75 x - x²

Una función es máxima en los  puntos en que su primera derivada es nula y la segunda es negativa.

S' = 75 - 2 x

S'' = - 2; negativa.

75 - 2 x = 0; x = 37,5 m

y = 75 - 37,5 m = 37,5 m

La superficie máxima es S = 37,5 . 37,5 = 37,5² (cuadrado)

S = 1406,25 m²

Adjunto dibujo.

Mateo