Un granjero tiene 100 metros de cerca de alambre, con la cual planea construir dos corrales adyacentes ¿Cuáles son las dimensiones que encierran el área mínima?
Respuestas a la pregunta
Un granjero tiene 100 metros de cerca de alambre, con la cual planea construir dos corrales adyacentes. Las dimensiones del rectángulo deben ser 25m y 16,67 m
Optimizacion:
Los corrales en conjunto forman un rectángulo cuyo lado mayor mide x metros y los otros dos lados que cierran el rectángulo, y el que sepa los corrales, miden "y" metros.
De modo que la longitud total de alambre es :
L = 100
2x + 3y = 100
El área total encerrada es,
A = x.y
Nos interesa expresar el área en función de un sola variable. Para ello se despeja "y" de la ecuación primera y se sustituye en la segunda,
y = (100 - 2x) / 3
Función objetivo:
A = (1/3)(100x - 2x²)
Puesto que el área debe ser máxima, su primera derivada respecto de x debe ser nula.
A´ = (1/3).(100 - 4x)
A´= 0
0= (1/3).(100 - 4x)
4x = 100
x=25
¿Cuáles son las dimensiones que encierran el área mínima?
Las dimensiones del rectángulo deben ser,
x = 25m
y = 16,67 m
Para comprobar si el área es máxima basta hallar su segunda derivada respecto de x,
A´´ = - 4 < 0 lo que confirma que el área con las dimensiones indicadas es máxima.