Question

Un granjero dispone de 800 m de valla para cercar dos corrales adyacentes. Expresar el
área A como función de x. ¿Cuáles son las dimensiones que maximizan el área?

Answer 1

Si los corrales tienen la misma medida, entonces supongamos que las dimensiones sean para ambos

Ancho = x
Largo = y

El perímetro de cada uno mide 2(x+y), por lo tanto los 2 corrales hacen en total 4(x+y) = 800
x + y = 200
y = 200 - x ....... (*)

Area de los dos corrales.
Cada uno tiene un área de xy , los dos hacen un área de 2xy
A (x,y) = 2xy

por (*) se tiene
$A(x) = 2x(200-x)\\ \\ \boxed{A(x)=400x - 2x^2}$

Ahora hallemos las dimensiones que máximizan el área

$A(x) =400x-2x^2=-2(x^2-200x)=-2[(x-100)^2-100^2]\\ \\ A(x)=-2(x-100)^2+20000\\ \\ A(x)\geq 20000\\ \\ \text{Si }A(x)=20000\text{ entonces }x=100$

Por lo tanto cada corral es un cuadrado de lado 100 m