Question

Un granjero desea construir un corral rectangular. Para ello dispone de 60 m de alambre tejido.
a) Hallar las dimensiones de modo que el área sea máxima;

b) ¿Cuál es el área máxima?

Answer 1

Las dimensiones que debe tener un corral rectangular para que el área sea máxima son: lado a=15m y labo b=15m. Con estos valores el área máxima del corral será de 225m.

Explicación paso a paso:

Sabemos a partir del enunciado del ejercicio que el granjero dispone de 60m de alambre tejido. Lo cual corresponde al perímetro que tendrá el corral.

Las características de un rectángulo están dadas por:

Perímetro $\longrightarrow$ P = 2(a+b)

Área  $\longrightarrow$ A = a x b

A)

Planteamos el siguiente sistema de ecuaciones:

$\left \{ {{60=2(a+b)} \atop {A=a\times b}} \right.$

A partir de la primera ecuación podemos decir:

$60=2(a+b)\\30=a+b\\a=30-b$

Sustituyendo en la segunda ecuación, tenemos:

$A=(30-b)b\\A=30b-b^2$

Para conocer el área máxima debemos encontrar la primera derivada de la expresión del área e igualarla a cero:

$A'=(30b-b^2)'\\A'=30-2b\\30-2b=0$

Despejamos el lado b:

$b=\frac{30}{2}\\b=15$

Conociendo el lado b, podemos encontrar el lado a:

$a=30-b\\a=30-15\\a=15$

Por lo tanto, las dimensiones para que el corral tenga área máxima son a=15m y b=15m

B)

Él área máxima será:

$A_{max}=a\times b\\A_{max}=15 \times 15\\A_{max}=225 \quad metros$