Question

Un globo parte desde un punto A hasta un punto B, si en el transcurso del camino se detiene a la mitad del camino y observa que del punto A hasta donde se encuentra hay 2630 metros y desde donde esta hasta el punto B hay 1960 metros. Cuanta distancia hay entre el punto A y B sabiendo que desde donde está su ángulo es de 63°. POSIBLES RESPUESTAS 2856. 31 m 2586. 16 m 2685. 66 m 2465. 36 m​.

Answer 1

La distancia entre el punto A y el punto B es de aproximadamente 2465.36 metros

Siendo correcta la última opción de todas las presentadas

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.

Para resolver este ejercicio vamos a aplicar el teorema del coseno

Solución

¿Qué es el Teorema del Coseno?

El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.

El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.

El teorema del coseno dice:

Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,

Entonces se cumplen las relaciones:

$\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(\alpha ) }}$

$\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(\beta ) }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma ) }}$

Representamos la situación en un triángulo ABC en donde el vértice C representa el punto en donde se detiene el globo en el transcurso del camino que realiza partiendo desde el punto A hasta el punto B. Donde desde ese punto C el globo observa desde esa posición en la cual se encuentra los dos puntos A y B, donde el lado AC (b) representa la distancia desde el punto A hasta el punto C donde se halla el globo- y el lado BC (a) la distancia desde el punto B hasta el punto C donde se ubica el globo- donde ambos longitudes forman un ángulo de 63° desde donde está el globo. Y el lado AB (c) representa la distancia entre los dos puntos A y B la cual es nuestra incógnita

Se pide hallar cual es la distancia entre el punto A y el punto B

Hallamos la distancia "c" entre los puntos A y B

La cual está dada por el lado faltante del triángulo lado AB (c)

Conocemos el valor de dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, luego empleamos el teorema del coseno para hallar la distancia entre el punto A y el punto B

Por el teorema del coseno podemos expresar

$\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma ) }}$

$\large\textsf{Reemplazamos valores }$

$\boxed {\bold { c^{2} =( 1960 \ m)^{2} + (2630 \ m)^{2} - 2 \ . \ 1960 \ m \ . \ 2630 \ m \ . \ cos(63^o) }}$

$\boxed {\bold { c^{2} =3841600 \ m^{2} + 6916900 \ m^{2} - 10309600 \ m^{2} \ . \ cos(63^o) }}$

$\boxed {\bold { c^{2} =10758500 \ m^{2} - 10309600\ m^{2} \ . \ 0.45399049974 }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = 10758500\ m^{2} -4680460.46 \ m^{2} }}$

$\boxed {\bold {c^{2} =6078039.54 \ m^{2} }}$

$\boxed {\bold {\sqrt{ c ^{2} } = \sqrt{6078039.54 \ m^{2} } }}$

$\boxed {\bold {c = \sqrt{6078039.54 \ m^{2} } }}$

$\large\boxed {\bold { c \approx 2465.36\ metros}}$

La distancia entre el punto A y el punto B es de aproximadamente 2465.36 metros

Se adjunta gráfico para mejor comprensión entre las relaciones entre los lados y los ángulos planteados