Question

Un globo de aire caliente viaja verticalmente hacia arriba con una velocidad constante de 5mt/s. Al llegar a 21 mt sobre el suelo deja caer una particula de él.
Determinar :
Cuanto tiempo tarda la particula en el aire?
Cual es la velocidad de impacto contra el suelo?

Answer 1

Vamos a presentar las funciones de posición vertical y de velocidad vertical

$y(t)=y_0+v_0t-\frac{1}{2}gt^2$

$v_y(t)=\frac{d}{dt}\:y(t)=v_0-gt$

En donde $g=9,81\:m/s^2$ es la aceleración producida por la atracción gravitatoria terrestre, y el signo menos hace referencia a que esta es contraria a nuestro eje positivo de altura (es decir, nos lleva hacia abajo)

Luego $y_0$ es la altura inicial y $v_0$ la velocidad inicial

Con los datos del enunciado sabemos que $y_0=21\:m$ y $v_0=5\:m/s$, por lo que nos queda

$y(t)=21\:m+5\:m/s\times t-\frac{1}{2}gt^2$

$v_y(t)=5\:m/s-gt$

Sabemos que cuando se llega al suelo $y(t)=0$, donde reemplazamos

$21\:m+5\:m/s\times t-\frac{1}{2}gt^2=0$

Utilizando la fórmula de Baskara adjuntada en imagen, hallamos las dos soluciones a esta ecuación de segundo grado, las cuales son

$t_1\cong 2,64\:s$
$t_2\cong -1,62\:s$

Como hablamos de tiempo, despreciamos la solución negativa y tomamos la positiva

Sabemos que en ese tiempo la partícula llega al suelo, por lo que usamos la función de velocidad vertical para saber con qué rapidez llega al punto en cuestión

$v_y(2,64\:s)=5\:m/s-g(2,64\:m/s)$

$v_y(2,64\:s)=-20,90\:m/s$

Es decir, hablando en términos de módulo, la partícula llega al suelo con una rapidez de $20,90\:m/s$ y con eso ya queda resuelto el problema

Notemos que en todos los cálculos realizados dejamos a la gravedad expresada con la letra $g$, pero es reemplazada por su valor a la hora de hallar los valores pedidos