Un ganadero tiene 400 pies de cercado con los cuales delimita dos corrales rectangulares adyacentes . ¿Qué dimensiones deben utilizarse de manera que el área delimitada será un máximo?
Respuestas a la pregunta
Se forman dos rectángulos vecinos que comparten un lado.
Sea x la base. Sea y la altura.
El área es A = x . y
Por otro lado el perímetro total del cercado es 2 x + 3 y = 400
Despejamos y = 400/3 - 2/3 x; reemplazamos en A
A = x (400/3 - 2/3 x) = 400/3 x - 2/3 x²
Una función es máxima en los puntos en que su primera derivada es nula y la segunda es negativa.
Derivamos dos veces:
A' = 400/3 - 4/3 x
A'' = - 4/3, negativa, hay un máximo en A' =
400/3 - 4/3 x = 0, implica x = 100 pies
y = 400/3 - 2/3 . 100 = 200/3 ≅ 66,67 pies
El área máxima es A = 100 . 200/3 = 20000/3 ≅ 6667 pie²
Adjunto dibujo a escala
Mateo
Deben usarse dimensiones de un cuadrado de lado 50 pies
Tenemos que el área de cada rectángulo será el producto de sus lados, luego si los lados miden a y b, entonces el área total de los dos rectángulos es
2ab
Luego tenemos que el perímetro es 400 pies, a pesar de que son adyacentes supondremos que hay que delimitar la linea que une a los corrales, por lo tanto se usa como cercado el doble del perímetro de los rectángulos que es:
2*2*(a + b) = 400 pies
a + b = 100 pies
b = 100 pies - a
Sustituimos en la primera ecuación, el área es:
2*a*(100 pies - a)
200a pies - 2a²
Derivamos e igualamos a cero:
200 pies - 4a = 0
4a = 200 pies
a = 200 pies/4
a = 50 pies
Luego si sustituimos:
b = 100 pies - 50 pies = 50 pies
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