Un ganadero comprueba que 3 de sus vacas podrían alimentarse durante dos semanas con la hierba contenida en dos hectáreas, más las que creciese en dicha superficie durante las dos semanas. También comprueba que dos vacas podrían alimentarse durante cuatro semanas con la hierba de dos hectáreas, más la que creciste en ella durante dicho tiempo. ¿Cuántas vacas podrá alimentar el ganadero durante 6 semanas con la hierba contenida en 6 hectáreas más la que creciste en ellas durante 6 semanas?
con explicación plis y si no saben dimplemente no contesten porfis
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Un buen número de problemas clásicos de matemáticas, de frecuente aplicación, de esos que ponen a dudar a quienes los enfrentan cotidianamente, tienen que ver con el planteamiento de «reglas de tres». Aparentemente son problemas que todos deberíamos poder resolver, pero he observado que «las reglas de tres» forman parte del conjunto de problemas con apariencia elemental que pocas personas reconocen no saber plantear y que por tratarse de una aparente lección olvidada del colegio se opta por ocultar su desconocimiento para mantenerla en el estante secreto de las limitaciones personales, como si se tratase de un defecto vergonzante.
Es frecuente que cuando ignoramos un tema, pero estamos convencidos de que deberíamos dominarlo o que su explicación debe ser trivial, evitemos preguntar; tal es el caso de «las reglas de tres», aun cuando, como veremos, no se trata de una trivialidad.
En el libro de Isaac Newton titulado Arithmetica Universalis, publicado en 1707, el autor acompaña las indicaciones teóricas de los temas con una serie de ejemplos y lo justifica afirmando que al estudiar las ciencias, los ejercicios son más útiles que las reglas. Entre los ejemplos ilustrativos que presenta Newton aparece el conocido hoy bajo el nombre de “problema de las vacas de Newton” que puede expresarse, en su forma más general, como sigue:
m vacas comen el pasto de n potreros en p días,
m′ vacas comen el pasto de n′ potreros en p′ días
m″ vacas comen el pasto de n″ potreros en p″ días
Suponiendo que los potreros tienen la misma extensión, que tanto el pasto inicial en cada potrero, como el crecimiento diario y lo que come cada vaca diariamente permanecen constantes, ¿qué relación ha de existir entre las 9 magnitudes?
Este ejemplo con vacas, pasto y días me sirve para iniciar por recordar las «reglas de tres», como intentaré ilustrarlo a continuación con algunos ejemplos concretos.
Simple directa:
Si semanalmente 8 vacas se comen el pasto de 2 potreros, ¿cuántas vacas pueden alimentarse semanalmente con el pasto de 5 potreros?
Aquí la relación es directa, dado que, con mayor número de potreros, podrán alimentarse más vacas y lo representamos entonces como:
8 vacas → 2 potreros
m vacas → 5 potreros
Para despejar la incógnita m basta resolver la ecuación:
8/m = 2/5.
También podemos decir que 8 vacas son a 2 potreros como m vacas son a 5 potreros y escribir: (8/2) = (m/5) que es equivalente a la ecuación antes mencionada.
La solución es m = (8/2)×5 = (8×5)/2 = 40/2 = 20.
Entonces la respuesta es que semanalmente pueden alimentarse 20 vacas con el pasto de 5 potreros.
Como siempre, también resulta muy natural y lógico pasar al valor unitario: si con 2 potreros se alimentan 8 vacas, con 1 potrero se alimentará la mitad, es decir 4 vacas, así que el pasto de 5 potreros se lo comerán entre (4×5) = 20 vacas.
Simple inversa:
Si 4 vacas se comen el pasto de un potrero en 6 días, ¿cuánto tardarán en hacerlo 3 vacas?
Si se observa con atención el enunciado, resulta evidente que cuanto más vacas haya en el potrero, menos días necesitarán para comerse todo el pasto disponible, así que la relación es inversa: más vacas implica menos días y menos vacas implica más días:
4 vacas → 6 días
3 vacas → p días
Al ser inversa la proporción, la fracción 4/3 debe invertirse; es decir, a diferencia de la proporción directa, debemos escribir ahora 3/4, de tal manera que la ecuación a resolver para despejar la incógnita p resulta ser:
3/4 = 6/p, entonces
p = (4×6)/3 = 8.
La respuesta es que 3 vacas tardan 8 días en comer el pasto de un potrero.
También puede resultar siempre útil y muy natural, en el caso de las proporciones inversas, hacer la cuenta por unidad: si 4 vacas necesitan 6 días, entonces una vaca necesitará (6×4) = 24 días; así que 3 lo harán en la tercera parte del tiempo, o sea 24/3 = 8 días.
Compuesta:
Si 20 vacas se comen el pasto de 4 potreros en 8 días ¿Cuánto tiempo necesitan 12 vacas para comerse el pasto de 3 potreros?
La relación vacas-tiempo es inversa porque más vacas necesitan menos días para consumir la misma cantidad de pasto, mientras que la relación pasto-tiempo es directa porque a mayor cantidad de pasto se necesita un mayor número de días para consumirlo. Entonces:
20 vacas → 4 potreros → 8 días
12 vacas → 3 potreros → d días
Siguiendo con lo indicado para la regla simple, la fracción (20/12) debe invertirse, así que la incógnita d se despeja de:
(12/20)(4/3) = 8/d.
Y de aquí resulta:
(12×4)/(20×3) = 8/d,
por lo tanto:
d = (8×20×3)/(12×4) = 10.
La respuesta es que se necesitan 10 días para que 12 vacas puedan comerse el pasto de 3 potreros.
Volvamos ahora sobre el problema planteado por Newton y examinemos un caso que sea ilustrativo.
Supongamos que 3 vacas pueden alimentarse durante 2 semanas con el pasto que hay en 2 potreros, más el que crece en dicha superficie durante esas 2 semanas; supongamos también que 2 vacas pueden alimentarse durante 4 semanas con el pasto que hay en 2 potreros más el que crece en ellos durante