Question

Un futbolista patea en el suelo un balón con una velocidad de 20 m/s con un ángulo de 37°. Calcular:
a. La altura máxima que alcanza.
b. El tiempo del balón en el aire.
c. El alcance horizontal del balón.

Answer 1

a) La altura máxima que alcanza el balón es de 7.2 metros

b) El tiempo de vuelo de este es de 2.4 segundos

c) El alcance horizontal del balón es de 38.45 metros

Se trata de un problema de tiro parabólico que consiste en una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, debido a la fuerza de la gravedad. Ambos movimientos poseen velocidad inicial y son independientes uno del otro.

a) Altura máxima

La altura máxima que alcanza un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { H_{max} =\frac{( V_{0})^{2} \ . \ sen^{2} \theta }{2 \ . \ g } }}$

Donde

$\bold { H_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es la altura m\'axima del proyectil}$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil}$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\large \textsf{Consideramos el valor de la gravedad } \bold {10 \ \frac{m}{s^{2} } }$

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{(20 \ \frac{m}{s} )^{2} \ . \ sen^{2} \ (37^o) }{2 \ . \ 10 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\large \textsf{El valor exacto de sen de 37 grados es de }\bold{ \frac{3}{5} }$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{400\ \frac{m^{2} }{ s^{2} } \ . \ \left(\frac{3}{5}\right )^{2} }{ 20\ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{400\ \frac{m^{\not 2} }{\not s^{2} } \ . \ \frac{9}{25} }{20\ \frac{\not m}{\not s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{400\ \ . \ \frac{9}{25} }{ 20 } \ m }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{ \frac{3600}{25} }{ 20 } \ m }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{ 144 }{ 20 } \ m }}$

$\large\boxed {\bold { H_{max} = Y_{max} = 7.2\ metros }}$

La altura máxima que alcanza el balón es de 7.2 metros

b) Tiempo de vuelo o de permanencia en el aire

La ecuación del tiempo de vuelo de un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { t_{V} =\frac{2 \ V _{0} \ . \ sen \ \theta }{ g } }}$

Donde

$\bold { t_{v} } \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el tiempo de vuelo del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil}$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{2 \ . \ (20 \ \frac{m}{s} ) \ . \ sen \ (37^o) }{10 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\large \textsf{El valor exacto de sen de 37 grados es de }\bold{ \frac{3}{5} }$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{40\ \frac{\not m}{\not s} \ . \ \frac{3}{5} }{10 \ \frac{\not m}{s^{\not 2} } } }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{40\ \ . \ \frac{3}{5} }{10 } \ s }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{ \frac{120}{5} }{10 } \ s }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{24 }{10 } \ s }}$

$\large\boxed {\bold { t _{v} =2.4 \ segundos }}$

El tiempo de vuelo del balón es de 2.4 segundos

c) Alcance horizontal o alcance máximo

La ecuación de alcance máximo de un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { x_{max} =\frac{( V _{0})^{2} \ . \ sen (2 \theta) }{ g } }}$

Donde

$\bold { x_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es el alcance m\'aximo del proyectil}$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil}$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ (20 \ \frac{m}{s} )^{2} \ . \ sen (2 \ 37 ^o) }{ 10 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{400\ \frac{m^{\not2} }{ s^{\not 2}} \ . \ sen (74 ^o) }{ 10 \ \frac{\not m}{\not s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{400\ \ . \ 0.9612616959383 }{ 10 } \ m }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ 384.50467837532 }{ 10 } \ m }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =38.450467\ metros }}$

$\large\boxed {\bold { x_{max} =38.45 \ metros }}$

El alcance horizontal del balón es de 38.45 metros

Se agrega gráfico que evidencia la trayectoria del movimiento

Como se puede apreciar se describe una parábola